Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
представлением гипергеометрической функции, которое легко получить из
[90] (формула 7.232, 2):
F(a e1Z) = МЫ + Г(7)Г(а-/3) ,
I ,Р,Ъ ) V + Г(а)Г(7 -/3)( ^ '
С помощью этой формулы убеждаемся, что условие (2) выполнено. Коэффициент
отражения
(6)
R =
Г(2г&оа)Г[1 - г(к + &о)а]Г[-г(к + &о)а]
Г(-2г^оа)Г[1 - i(k - &о)а]Г[-г(к - fco)a]
(7)
Для упрощения полученного выражения используем формулы
= 1 и Г(г)Г(1-г)
F(2ikoa) F(2ikoa)
T(-2ikoa) T*(2ifcoa)
7Г
sin TTZ
Окончательно получим
R
sh2 7Г а(к - ко) sh2 7Г а(к + ко)
(8)
При малых а (ка -С 1) R переходит в известное выражение, справедливое при
скачкообразном изменении е:
R =
(к - ко)2 (к + ко)2
С ростом a R монотонно убывает. При больших ка убывание происходит по
экспоненциальному закону:
R = e~4irk°a, ка > 1.
§ 1. Плоские волны в однородной среде. 397
423. При нормальном падении волны на неоднородный слой, электрическое
поле зависит только от z и удовлетворяет уравнению
0 = ^e(w,z)E = 0. (1)
2
Обозначим ,- = 2i, тогда е = 1 - Введением переменной ? =
* 0^ Л7" *1
= (-г-) 3 (^i - z) уравнение (1) приводится к виду1
\сzi)
4ire Л/о
1
^f+^ = 0. (2)
Решение уравнения (2) проще всего получить с помощью преобразования
Фурье. Разложим Е(?) в интеграл Фурье:
ОО ОО
Е(?)= j E(u)e*udu, E{u) = ± J Е($е~** d?.
-оо -ОО
Подставляя разложение Е(?) в (2), получаем относительно амплитуды Е(и)
дифференциальное уравнение первого порядка:
+ iu2E{u) = 0. (3)
du
В результате преобразования Фурье мы получили вместо уравнения второго
порядка более простое уравнение первого порядка. Уравнение (3) легко
интегрируется, его решение
Е(и) = А'е з .
Переходя к Е(?), имеем
ОО з
- А' [ в-*(т-€")
т=л' j
е v 3 ' du.
ОО
1 Таким же уравнением в квантовой механике описывается движение
частицы в однородном силовом поле.
398 Глава VIII
Представляя е ' 3 ' в виде суммы синуса и косинуса, и замечая, что
в силу нечетности подынтегральной функции интеграл от sin^- ^uj равен
нулю, получим:
ОО
E(Q = -±Jcce(?-Zu)du. (4)
О
Функция
оо
Ф(?) = ~^= Jcos(y + du
О
называется функцией Эйри1 (она может быть выражена через функции Бесселя
с индексом ^). Таким образом, окончательно
О
Е(0 = АФ(-0-
Константа А должна определяться из условия на границе слоя.
Исследуем поведение Е(?) при больших |?|. Пользуясь асимптотическими
формулами для Ф(?) (см. [11]), получаем при больших положительных
значениях ?:
Здесь поле имеет осциллирующий характер.
При больших по абсолютной величине отрицательных значениях ?:
?(?) = ---е-з^|3/4 W 2|с|1/4е
Поле экспоненциально затухает. Причина этого состоит в том, что
отрицательным ? соответствуют отрицательные значения диэлектрической
постоянной е. Но при е < 0 волновой вектор к = ^\/ё становится чисто
мнимым, что и ведет к затуханию. Однако затухание в данном случае связано
не с переходом электромагнитной энергии в тепло (так как диэлектрическая
проницаемость вещественна - потери отсутствуют), а с отражением волны от
слоя с отрицательным е.
1 Эта функция подробно исследована В. А. Фоком (см. В. А. Ф о к,
Таблицы функции Эйри, 1946 г.).
§ 1. Плоские волны в однородной среде. 399
424. Ф(х,0) = A(x,0)eikoX,
где
х2А fc2
А(х, 0) = аоу/пАке 4 .
Амплитуда волнового пакета А(х, 0) имеет форму кривой Гаусса. Она
становится исчезающе малой, если |хДА;| 1. Отсюда следует, что ширина
пакета в обычном пространстве связана с его "шириной" в пространстве к
соотношением Ах • Ак ~ 1. Это соотношение имеет универсальный характер и
справедливо как для электромагнитных волн, так и для волн любой другой
природы. Оно играет особую роль для волн вероятности в квантовой
механике, приводя к соотношению неопределенностей для координаты и
импульса микрочастицы.
425. Ф(0, t) = Л(0, где
t2 Аа>3
Л(0, t) = aov^Awe 4 ; At - Аи> " 1.
426. Ахтт = " \ где в - половина угла конуса раствора лучей,
2п sin в
провеценных из объектива микроскопа к рассматриваемому объекту.
427. Волновой импульс, посылаемый радиолокатором, имеет ширину Ах,
связанную с поперечным разбросом волновых векторов к± соотно-
Л к
шеннем Ах ¦ к± > 1. С другой стороны, очевидно, ~ Из этих двух
соотношений находим неточность в определении положения объекта:
Ах > VlX.
428. Волновой пакет описывается функцией
Ф(г,0 = Anao^JMe^-^,
где J2(x) = J^(^-cosx) - функция Бесселя, р = |r - vsi|. Группо-
2
вая скорость v0 = ^ - вектор с компонентами Амплитуда
dk дкх dkg
волнового пакета теперь заметно отлична от нуля только в пространственной
(сферически симметричной) области pq ^ 1. Пакет ограничен по всем трем
измерениям.
400
Глава VIII
Как видно из выражения для Ф(г,t), форма пакета со временем не меняется.
Это обусловлено линейным законом дисперсии, который строго справедлив для
электромагнитных волн только в вакууме. При учете следующих членов
разложения из по к имеет место изменение ("расплывание") формы пакета.
Пакет движется как целое с групповой скоростью \д.
429. Представив зависимость из(к) в виде
и = wo + vg(k - ко) + Р(к - ко)2,
