Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
вихревыми токами, вне цилиндра равно нулю, на границе должно выполняться
условие Н | = 0, т. е.
J0(ka) = 0. (3)
Отсюда находим кта = /Зт, т = 1,2,..., где /Зт - нули функции Jo.
Возможными значениями 7 будут
с2Р2"
4nfura2
Общее решение уравнения (1), соответствующее рассматриваемой краевой
задаче, запишется в виде
(5)
376 Глава VII
Коэффициенты Ст определятся из начального условия
Н(Г,0) =Y,CmMkmr). (6)
Воспользовавшись свойством ортогональности функций Бесселя:
1
xJo(kmx)Jo(knx)dx= у [</o(^m)] (7)
о
получим
1
/¦
а
:- -----Т2 / H(r,0)Jo(kmr)rdr. (8)
а о
В начальный момент времени поле Н(г, 0) равно внешнему полю Но, так как
постоянное магнитное поле не искажается, если в него поместить
бесконечный цилиндр, ось которого параллельна полю. Использовав формулы
(П 3.12), (П 3.9), найдем
П -гг, - 2Н°
(кта)МктаУ (У)
Скорость затухания поля будет определяться наименьшим из значений ут, т.
е. 7i. Его можно получить, подставив в (4) значение наименьшего корня
функции Бесселя (3\ и 2,4. Время затухания поля т =
388. Магнитное поле внутри шара в нулевом (по частоте) приближении было
найдено в задаче 281:
н = ^Н". (1)
Электрическое поле внутри шара в этом же приближении, как следует из
уравнения (VII. 11), оказывается равным нулю, так как постоянное
магнитное поле не создает электрического поля. Для определения
электрического поля в следующем (линейном по и) приближении используем
уравнение (VII. 10) в интегральной форме.
Из свойств симметрии системы ясно, что токи в шаре будут течь по
окружностям в плоскостях, перпендикулярных Но; так же будет направлено
электрическое поле.
§ 2. Вихревые токи и скин-эффект Ъ11
Выбрав сферическую систему координат с осью z вдоль Но, получим
Е=Щ?-г sint?, j = *E, (2)
где Н определено равенством (1). Выделяющееся в шаре тепло Q найдем,
интегрируя q = ^а\Е\2 по объему шара:
п _ Зтга5аш2Н0 . .
Q 5с2(м + 2)2'
389. Вне шара магнитное поле:
, 3r(m • г) m
0 + г5 г3 '
где m = - ^а3Но; /3 = - ^а3 - магнитная поляризуемость шара при сильном
скин-эффекте.
Внутри шара:
Щ = _|я0е_(1_1)" sint?, Нг = На = О,
где z отсчитывается от поверхности по нормали в глубь проводника,
полярная ось сферической системы координат направлена вдоль Но;
п _ 3а2с 4 8
П^тг 2 у 2па
390. В случае сильного скин-эффекга поле внутри эллипсоида равно нулю, а
во внешней области удовлетворяет уравнениям rot Е = 0, div Е
0 и граничным условиям Hn\s = 0, Н^^, где Но - внешнее поле и через S
обозначена поверхность эллипсоида.
Сравним эту задачу с задачей о диэлектрическом эллипсоиде с е = 0,
находящемся в однородном электрическом поле. Электрическое поле вне
такого эллипсоида будет удовлетворять уравнениям
rot Е = 0, div Е = 0 (1)
и граничным условиям
378
Глава VII
Условия для касательных компонент Б можно не рассматривать, так как
соотношения (1) и (2) однозначно определяют вектор Б во внешней области.
Мы видим, что рассматриваемая задача о проводящем эллипсоиде, при сильном
скин-эффекте формально совпадает с задачей о диэлектрическом эллипсоиде,
у которого е = 0. Полагая в формулах, приведенных в ответе задачи 200, ?i
= 0, получим магнитные поляризуемости в направлении главных осей
эллипсоида:
_____V______ (3)
4тг(1 -п")' ()
где пW - соответствующий коэффициент деполяризации, V - объем эллипсоида.
Для сильно вытянутого эллипсоида вращения с полуосями а, Ь а (стержень)
имеем (см. задачу 198):
0± = -\аЧ, 0\\=-\а2Ъ.
Для сильно сплюснутого эллипсоида (6 <С а, диск):
Р± = -7^т> Р\\ = ~\а2ь 0 при b -> 0.
391. Вследствие аксиальной симметрии системы шар + внешнее поле,
распределение вихревых токов в шаре и электрическое поле также обладают
аксиальной симметрией. На этом основании можно утверждать, что
электрическое поле будет иметь только одну составляющую Еа, которая не
может зависеть от а: Еа = f(r, •в).
Ищем решение уравнения (VII. 12) для полного электрического поля Б в виде
Еа = F(r) sintf, Er = Ев = 0.
Пользуясь выражением для лапласиана вектора в сферических координатах,
полученным в задаче 47, найдем уравнение для F(r), которое подстанов-*(Г)
кой F(r) = -- сводится к уравнению Бесселя. Его решением, ограничен-
у/г
ным при г = 0, будет
X(r) = AJs(kr).
2
Магнитное поле внутри шара определится из уравнения (VII. 10). Магнитное
поле во внешней области будет складываться из внешнего поля Но и поля
§ 2. Вихревые токи и скин-эффект 379
магнитного диполя ш, направление которого совпадает с Но:
Зг(ш • г) m
Н2 = Н0 +
г5 г3'
Постоянные Лит определяются из граничных условий для Н на поверхности
шара. Выражая функции Бесселя полуцелого порядка через тригонометрические
функции, получим
т = -т(1-*6 + й А = Ш?Га\/йн°-
392 О - За^2д° fi a sh 2а/6 + sin 2а/6 \
* 8 \ <5 ch2a/<5 - cos2a/<5/'
.. Jo(ka)
Ji (ka)
При |&a| <C 1 (малые частоты):
f)
С
(l + i)V27raw , где До = --------^-------.
где До = -К-------сопротивление постоянному току.
па а
При \ка\ " 1 (большие частоты):
1 I I
R
а 2жа8 са
1_и_'
