Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
получим
(x-Vgt)2
тт-г+i(kox-wot)
Характер зависимости этой комплексной амплитуды от х и t проще
исследовать, образовав квадрат модуля (именно он определяет интенсивность
волны):
2 a(x-vgt)2
|Л(М)|2 = _^=е 4*2+ft2).
1 v л +т2
Из этого выражения видно, что интенсивность волны как функция х при
фиксированном t имеет вид кривой Гаусса, но ее ширина I растет со
временем:
|= /2 (а2+/?2*2)
а высота убывает за счет множителя (а2 + /?2?2) 2.
Волновой пакет расплывается. Расплывание происходит симметричным образом
(в сторону t = +оо и в сторону -оо) и, разумеется, не связано с
поглощением энергии, так как к вещественно. Отсутствие диссипации
ОО .
видно и из того, что интеграл / \A(x,t)\2 dx = ./не зависит от
-оо ' а
времени, т. е. "полная интенсивность" сохраняется. Причиной расплывания
является неодинаковость скоростей распространения (фазовых) vv = ^
отдельных плоских волн, входящих в суперпозицию: вследствие дисперсии
отношение ^ зависит от к. к
§ 2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах 401
430. При о
где е0 = е(0).
При ш>шо
/ \ / шр\ ,,"=с(1-Ы<с'
В последнем случае vv ¦ vg и с2. Вблизи резонансной частоты (из "шо)
понятие групповой скорости теряет смысл.
431. Как следует из результатов, полученных в задачах 428,429, функция,
описывающая волновой пакет, имеет вид
E(x,t) = Eo(x,t)e^koX-Uot\
Здесь амплитуда Eo(x,t) меняется значительно медленнее, чем e*(fco*-u0t)
(периоды изменения этих функций относятся как Ak/ko). Пренебрегая
изменением Ео по сравнению с ехрг(/со? - u>ot), имеем из уравнения
Максвелла
H(x,t) = ^E(x,t) = ^E0{x,t)ei{koX-"ot)-
Плотность потока энергии, усредненная по периоду 27г/и>о изменения
высокочастотной составляющей, равна
7(*,0 = ^|Re(E х Н*)| = ^^Eo(x,t)ES(x,t).
Из соотношения 7 = vZJ находим скорость переноса энергии:
с dui ..
v
dk
§ 2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах
402 Глава VIII
433. Для того чтобы граничные условия для векторов поля выполнялись в
любой точке поверхности раздела, необходимо равенство касательных к
границе раздела компонент волнового вектора у падающей, отраженной и
обеих преломленных волн. Для обыкновенной волны это дает
. sin вп ___________
к0 sin во = к\ sin во, --тг = л/?±Д-Sin во v
Направление луча (вектора Пойнтинга) в обыкновенной волне совпадает с
направлением волнового вектора и составляет, следовательно, угол в'2 с
нормалью к границе.
В случае необыкновенной волны имеем
?±?Ш
к0 sin в0 = к2 sin в2 = к0 sin Щ. I------------------------г-
V ?]_ sin #2 + ?|| cos в<2
(см. (VIII.23)). Отсюда находим
2 е±?цМ + (ец - е±) sin2 в0
Угол •&" между лучом и оптической осью (совпадающей с нормалью к
поверхности раздела), согласно результатам предыдущей задачи,
определяется условием
v^Isin0o tgv - gjj- tg в 2 - - .
\/g||(g||M-sin20o)
Угол отражения от кристалла, как и от изотропной среды, равен углу
падения: в\ = во.
434. Обыкновенный луч лежит в плоскости падения и составляет с нормалью
к поверхности угол в'2:
sin #2 = \/?±/i sin во.
Волновой вектор к2 необыкновенной волны лежит в плоскости падения и
составляет с нормалью угол 6%:
2 _ е± sin2 в0
sin в'; =
?±?цМ + (е± - ?ц) sin во cos2 а
§ 2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах 403
Направление луча в необыкновенной волне не лежит в плоскости падения. Луч
расположен в одной плоскости с кг и оптической осью и составляет с
последней угол причем (рис. 70):
цМ + ?±(?± - ?и) sin2 0о cos2 а
tgtf =-----------------г-j------------------•
?ц sin во cos а
435. Подставляя в уравнения Максвелла (УШ.1)-(УШ.4) выражения полей Б и
Н в виде плоских волн, получим уравнение, определяющее
Рис. 84
амплитуды и волновые векторы волн, которые могут распространяться в
данной среде:
к х (к х Н0) = -^ДН0. (1)
с
Введем угол в между волновым вектором к и осью z и запишем (1) в
проекциях на оси координат.
Приравнивая нулю определитель системы, получим биквадратное уравнение
относительно к. Его решение дает:
2 Msin20+ (2я1_/^ц) ± yjц2sin4в + (2^а/^ц)2cos2в
1,2 2с2 (мх/М|| - 1) sin2 0+1 ' ^ ^
404
Глава VIII
где
.. Mi ~ Ма ~ М±М|| ft - 2 • м!
В каждом направлении могут распространяться две волны с разными
фазовыми скоростями v\ 2 = 7-, зависящими от угла 9. Направлений, для
' "1,2
которых эти фазовые скорости становились бы одинаковыми, не существует,
так как радикал в (2) не принимает нулевых значений ни при каких в.
Если в формуле (2) положить ца = 0, то она будет определять фазовые
скорости волн, которые могут распространяться в негиротропном, но
анизотропном магнитном кристалле:
,2 " ,.,2 ?Ц_|_ЕГ||
С С /Х|| COS в + Ц± sin в
Первая из этих волн (обыкновенная) имеет скорость v\
y/Wl'
не зависящую от направления распространения. Скорость второй волны
(необыкновенной) зависит от угла между осью симметрии кристалла и
направлением распространения. При распространении волны вдоль оси
симметрии (в = 0) обе скорости совпадают, две волны вырождаются в одну.
436. В любом направлении могут распространяться две волны с фазовыми
