Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
Решением этого уравнения, ограниченным при г = 0, является функция
Бесселя:
F(r) = CJi(kr), Ai = CJi(kr)sina. (4)
Постоянные С и т в (4) и (2) определяются из условия равенства
внутреннего (Hi) и внешнего (Н2) полей на границе цилиндра: Hi = Н2 при г
= а. Использовав (П 3.9), получим
С =
2Н0 а2 Нр( 2 Ji(ka)\ ()
kJo(ka)' 2 \ ка J0(ka))
Из выражения для т следует, что поперечная магнитная поляризуемость
цилиндра
/?=-?
ка J0(ka)
(6)
вдвое больше его продольной поляризуемости (см. задачу 382). Компоненты
магнитного поля внутри цилиндра определяются из (4) и (5):
Н1г = = 2Я0 cos a, Hlz = 0. (7)
г da krJo(ka)
it dAi nTJ J[(kr) ____
¦"la - r\ - 2/30 j /" ч sinQ.
or Jo{ka)
Определим еще плотность тока в цилиндре. По формуле j = ^ rot Н получим
т сН0 Ji(kr) j . п /0ч
z~ 2тг Jo(ka)sina' (8)
Из формулы (8) видно, что в каждый момент времени в двух половинах
цилиндра 0^а^7ги7г^а^27г токи текут в противоположных направлениях;
полный ток через сечение цилиндра равен нулю. Радиальная
§ 2. Вихревые токи и скин-эффект
373
зависимость плотности тока такая же, как в случае цилиндра, находящегося
в продольном поле, и была исследована в задаче 380. (Однако нужно иметь в
виду, что в случае продольного поля токи текут по окружностям в
плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра, тогда как в случае поперечного
поля они текут вдоль оси цилиндра.)
384. Среднее тепловыделение на единицу длины цилиндра проще всего
вычислить по формуле (VII. 17), рассмотрев поток энергии, втекающий через
боковую поверхность цилиндра. Используя результаты задачи 383, получим
Л ас2Яд n fMka)\
4 8тг<7 \ Jo(fca) /
Тот же результат получится с помощью формулы (VII. 16), причем при
интегрировании произведения функций Бесселя нужно использовать формулу
(П3.13).
385. Для определения вращательного момента нужно знать электрическое и
магнитное поля внутри цилиндра. Их можно найти тем же способом, что и в
задаче 383 для линейно поляризованного внешнего поля:
= _2ЯоЛ(М = Jjjkr) ia
r krJo(ka) ' " ° Jo(ka)
. _ ickHp Ji(kr) ia Jz~ 2tt ' J0(ka)e '
(1)
Сила, приложенная к единице объема цилиндра, вычисляется по формуле
f=?(JxH) (2)
(считаем, что внутри цилиндра ц = 1). Радиальная компонента этой силы
вызовет радиально направленное давление, азимутальная компонента создает
вращательный момент. Поскольку j и Н - комплексные величины, среднее
значение азимутальной составляющей силы выразится так:
7a = ±MjzH*r). (з)
Вращательный момент, действующий на единицу длины цилиндра, получится
путем умножения средней силы (3) на г и интегрирования по сечению
374
Глава VII
цилиндра. Интеграл вычисляется с помощью формулы (П3.13). В результате
получим
аЯр2
1*|2
<4>
Этот же результат получается другим путем. Момент сил можно выразить
через магнитный момент системы по формуле
N(t) = m(t) х H0(i). (5)
Определяя Nz = N через комплексные амплитуды Но и т, а т - через
поперечную магнитную поляризуемость цилиндра (см. задачу 383), приходим к
формуле (4).
При малых частотах из (4) получим
- J "4Яо ТГСТШ lj2_4
N = 4 • -р- = 1^2-Яоа ' а при больших частотах
N = \а5Н% = ~j=Hl (7)
\/8тг crui
Из этих формул видно, что вращательный момент исчезает в обоих предельных
случаях очень малых и очень больших частот.
Если поле поляризовано линейно, средний вращательный момент равен нулю
(формально это следует из того, что интеграл по а обратится в нуль при
вычислении N; см. задачу 383, в которой найдены j и Н для
этого
случая). Таким образом, вращательный момент создается "вращающимся"
полем.
Явление, рассмотренное в данной задаче, лежит в основе устройства
асинхронного электромотора.
386. Наряду с неподвижной системой отсчета, у которой ось z совпадает с
осью цилиндра, а ось х - с направлением внешнего поля Но, рассмотрим
систему координат ?, rj, z, вращающуюся вместе с цилиндром. В этой
системе координат внешнее магнитное поле запишется в виде
Н0(*) = (Н01 - Ш02)е
-iwt
Здесь Hoi и Н02 - постоянные векторы одинаковой длины Я01 = Я02 = = Но,
имеющие направления координатных осей ?, г/. Поле такого вида
§ 2. Вихревые токи и скин-эффект
375
было рассмотрено в задаче 385. Создаваемый им вращательный момент
(который в данном случае будет тормозящим) равен
|Jfcp V Mka)J-
387. В задаче 379 было показано, что вихревые токи, возникающие в
цилиндре при изменении внешнего продольного поля, не создают добавочного
магнитного поля вне цилиндра; во внутренней области создаваемое ими поле
продольно и зависит только от г. Это поле будет удовлетворять уравнению
д2Н 1 дН 4тту*дН n m
дг2 г дг с2 dt {4
Очевидно, что магнитное поле внутри цилиндра будет затухать со временем.
Поэтому частные решения уравнения (1) будем искать в виде F(r)e-7t, где 7
> 0 - постоянная. Для F(r) получаем уравнение Бесселя:
F"(r) + if" + *2F(r)=0, (2)
где ** = *221.
С
Ограниченное при г = 0 решение уравнения (2) имеет вид F(r) = = CJo(kr).
Поскольку внешнее поле Но выключается, а добавочное поле, создаваемое
