Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
течь по окружностям в плоскостях, перпендикулярных его оси. Эти токи
создадут такое же магнитное поле, какое создавалось бы множеством
отдельных коаксиальных соленоидов. Но поле соленоида во внешнем
пространстве равно нулю, а внутри соленоида направлено вдоль его оси.
Таким образом, полное магнитное поле вне цилиндра совпадет с полем Но, а
внутри цилиндра определяется первым уравнением (VII. 12), которое ввиду
осевой симметрии примет вид
практически для вычисления самоиндукции нужно использовать формулу (V.
18), так как
г г d\ ¦ dl'
теграл f f --- расходитс бесконечно тонким (линейным).
с с dl * dl n
интеграл f f -^- расходится. Эта расходимость вызвана тем, что проводник
считается
§ 2. Вихревые токи и скин-эффект
369
где
fc2 = ^p, Н = Hz(r), На = Нг = О,
и граничным условием Н(а) = Щ.
Решение, конечное при г = 0 и удовлетворяющее этому граничному условию,
выразится через функцию Бесселя нулевого порядка:
гг гг Mkr)
0 Jo(ka)
Вне цилиндра имеем
Н = Hq при а^г^б, Н = 0 при г > Ь.
Плотность тока и электрическое поле внутри цилиндра вычисляются по
формуле (VII. 11):
_ "• _ "р - kc Mkr) _ _
_ 4?г J0(ka) °' г " 2 " °'
Для определения электрического поля вне цилиндра воспользуемся уравнением
Максвелла для rot Б, которое запишем в интегральной форме:
Внутри цилиндра имеется только одна компонента электрического поля Еа, из
граничного условия на поверхности стержня и из симметрии системы следует,
что вне цилиндра поле Б также будет иметь лишь составляющую Еа, зависящую
только от г. Если выбрать в качестве контура I окружность, то контурный
интеграл дает 2тггЕа. При вычислении интеграла по площади используем
формулу (П3.12). Окончательно получим:
ксНо Ji{ka) а Но, г 2\ ^ ^ и
Е° = Т^"Щка)'? 2?<Г ~а)' есша^г*Ь-
ксЩ hm a !h(tf-a2) <хшг>ь.
47Г(Т J0(ka) г 2гv п
При отсутствии цилиндра, т. е. если а = 0, поле будет равно
Я062
Е,
:а = \нйг (г < 6), Еа = ^г(г> Ь).
370 Глава VII
Таким образом, добавочное магнитное поле, связанное с наличием цилиндра,
равно нулю при г > а, хотя добавочное электрическое поле отлично от
1 ЯТ^
нуля. Это связано с тем, что точное уравнение rotH = -%г> справедливое
с от
вне проводника, заменяется приближенным уравнением rotH = 0 (в ква-
зистационарном приближении током смещения пренебрегаем). При точном
решении задачи добавочное магнитное поле вне проводника также будет
отлично от нуля (см. задачу 452, в которой рассматривается дифракция
плоской волны на проводящем цилиндре).
380. При малых частотах (|fca| <?С 1 или S а)
. .сНо г iawHo
О = 4 ____ . _ = ________Г
J 4тг S2 2 с '
следовательно, плотность тока линейно зависит от г и пропорциональна
частоте.
При больших частотах (|fca| 1 или {<а) нужно использовать асимптотическую
формулу для функции Бесселя, с помощью которой получим
'-"-"si
47Г 5
При а - г S плотность тока становится исчезающе малой. Таким образом, при
больших частотах ток сконцентрирован в основном в тонком поверхностном
слое.
_Л2 2 а2 381. Q = - а 0 Re
kj\ (ка)
Jo(ka)
, к2 =
. 47г [law
с2
При |fca| <?С 1 (малые частоты):
"=^(!)4='Ч"Г
При \ка\ " 1| (большие частоты):
^ = nn2J$ ^= an2Jq ^2тгУ^
Диссипация энергии при малых частотах пропорциональна и>2, а при больших
- у/ш.
§ 2. Вихревые токи и скин-эффект 371
382. /3 = /3' + i/3" =
Ji (ка)
ка Jo(ka) При |fca| 1 (большие частоты):
к2 =
¦ Ажош
ау/Ал/2паи>
следовательно, при больших частотах /3" -> 0, т. е. потери уменьшаются,
ввиду вытеснения поля из проводника.
При \ка\ <С 1 (малые частоты):
ы _ ж2 а6 а2 и2 ап _ па4(гш Р 12с4 ' Р 8с2 '
Таким образом, при а> -> 0 /3 -"• 0; это связано с тем, что fj. = 1, т.
е. статическая магнитная поляризуемость равна нулю.
383. Магнитный момент, создаваемый вихревыми токами, вследствие
симметрии системы будет направлен вдоль внешнего магнитного поля. Поэтому
во внешней области полное магнитное поле Н2 можно записать в виде
H2(r) = i^I>-2f + H0. (1)
Г Г
Здесь m - неизвестный магнитный момент единицы длины цилиндра,
совпадающий по направлению с Но; г - радиус-вектор в плоскости,
перпендикулярной оси цилиндра. Полю Н2 соответствует векторный потенци-
. 2(т х г) ч "
ал А2 =----------1- (Но х г), который в проекциях запишется так:
г
Aiz = А2= (^jt- + sin а, Л2г = Л2а = 0 (2)
(угол а отсчитывается от направления Но).
Таким образом, во внешней области векторный потенциал имеет только
продольную (относительно оси цилиндра) составляющую, пропорциональную sin
а. Условиям непрерывности составляющих поля на границе можно
удовлетворить, если искать векторный потенциал во внутренней области в
аналогичном виде:
A\z = Ai = F(r) sin a, Air = A\a = 0. (3)
Электрическое поле E выражается в общем случае через оба потенциала: А и
(р.
372 Глава VII
Наложим, как обычно, на потенциалы дополнительное условие
div А + = 0.
с at
Тогда, поскольку div А = 0, что следует из формул (2) и (3), будем иметь
^ = - йлр = 0, так что Е = - = -А. Поэтому А будет удо-
С/Z С L/t с
влетворять такому же уравнению, как и электрическое поле (см. (VII. 12).
