Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
выражение, найдем область значений Z\, Z2 для случая а):
§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках 365
Это соответствует значениям от, лежащим между с2 c2(4Ci + С2)
LiCi CiCb(4L2 + Li)
374. Рассмотрим п-й замкнутый контур искусственной длинной линии (рис.
76). Этот контур можно рассматривать как эквивалентную схему для отрезка
длиной а линии с распределенными параметрами, причем AL будет индук-
д ь
тивностъю, а АС - емкостью данного отрезка. о------------t-'ТЛЯПР'-
В случае произвольной зависимости тока в ли- "Л нии от времени уравнение
Кирхгофа для этого J"
контура примет вид:
1 ЛГ"Л I 9п+1,п п /1Ч °
-^AL~dT + ~AC Д^-°' (1) Рис. 76
где qn-i,n и qn+i,n - заряды на верхних обкладках левого и правого
конденсаторов. Дифференцируя (1) по времени и пользуясь соотношениями
= -Л, + Jn~ь qn,n+i =Jn- Лн-ь получим:
±AL^ + -^(2Jn-Jn-1-Jn+1) = 0. (2)
Теперь нужно перейти от переменной п к переменной z - координате точки
линии с распределенными параметрами. Для этого положим
Jn(t) = j(z,t), Jn-i(t) = J(z-a,t), Jn+1(t) = J(z+ a,t)
и вычислим разности:
n 'Уп~1 dz 2 Qz1 '
J? _ J? .. ~ _Ma_ I^.a2 Л.+1 ~ Qz a 2 gz2 '
Подставляя эти разности в (2) и замечая, что L = и С = индуктивность и
емкость на единицу длины, получим уравнение
L d2J 1 d2J
с2 dt2 С dz2 '
(3)
366
Глава VII
Это - уравнение длинной линии без потерь. В реальной длинной линии всегда
имеются потери как за счет сопротивления в проводах, так и за счет
неидеальной изоляции между проводами.
Эквивалентная схема для случая, когда второй фактор не учитывается (т. е.
изоляция проводов считается идеальной), приведена на рис. 77.
Уравнение длинной линии (телеграфное урав-дд AL нение) в этом случае
можно получить таким же
способом, как было получено (3):
•О
d=AC
d^AC
\Jn+,
L d2J + RdJ
1 d2J>
dt2
dt С dz2'
(4)
где R - активное сопротивление проводов на рис 77 единицу длины.
375. Решая уравнение (3), полученное в предыдущей задаче, найдем
где v
Vlc
lj = vk,
- скорость распространения волн в длинной линии, к
= г = 1,2,3..., 1и С - индуктивность и емкость на единицу длины.
В полученном спектре длинной линии, в отличие от спектра цепочки с
сосредоточенными параметрами, число собственных частот бесконечно. Это
связано с тем, что длинная линия является континуумом с бесконечным
числом степеней свободы, тогда как в цепочке число степеней свободы N -
конечно. В случае идеальной длинной линии характерно также отсутствие
дисперсии.
376. Исходим из закона Ома в дифференциальной форме: j = <т(Е + + Ест),
где Ест - напряженность поля сторонних сил. Выразим Е через потенциалы:
¦р г7 л 1 дА. pi J . г-7 , 1 дА.
E--V ip-- - , Ест - - + v<p + - -jjj-.
с dt
с dt
Считая проводник тонким, проинтегрируем обе части последнего равенства по
контуру, совпадающему с проводником:
fEet-A = f±-A + fv<p-A + lf^. (1)
Интеграл, стоящий в левой части равенства (1), представляет собою
стороннюю э. д.с. включенную в цепь; интеграл § ^ -dl = JR определяет
§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках 367
потери на джоулево тепло за единицу времени. Интеграл fV<p-dl = f dtp = =
0. Последний интеграл преобразуем следующим образом. С учетом
запаздывания
-И
(* - 5)
•?((-!) ^ =
Подставляя эти выражения в равенство (1) и отделяя вещественную и мнимую
части, получим
?ст (t) = S(t)
sin ^ • d\' \ .... r r cos
Выражение в квадратных скобках представляет комплексное сопротивление
цепи. Активное сопротивление равно R + Rt(lj), где
Г Г
Rr(u}) = ^f j-
Величина R связана с потерями на нагревание проводника; величина Rt(lj)
характеризует потери энергии на излучение и называется сопротивлением
излучения (см. следующую задачу).
_ iojL(u>)
Реактивное сопротивление равно-----------=-, где
с
L(lj) = j> ?
(jjr
COS^r
-^-d\ ¦ dl', Г *
представляет собою индуктивность, зависящую от частоты.
Рассмотрим случай, когда можно считать ? = ^ " I, где I - размер
контура. В области интегрирования j С 1 и, с учетом квадратичного члена в
разложении косинуса, получим
368
Глава VII
Первый член в этом выражении не зависит от частоты и представляет собой
обычную индуктивность1; второй член дает поправку, существенную при
высоких частотах.
В разложении синуса нужно учесть кубический член, так как интеграл от
первого (линейного) члена обращается в нуль. Сопротивление излучения
Rr(w) = -~5 У У r2<fl • ¦
377. Ь(ш) = L + Щр- . Rr(w) = 33" • Кольцо с током
является магнитным диполем. Энергия, излучаемая в единицу времени, да-
2 т2
ется формулой - • где m - магнитный дипольный момент.
3 с
Значение коэффициента пропорциональности между излученной энер-
__2 л 2 2 4
гией и J равно 5 и совпадает с Rr(w).
Зс
§ 2. Вихревые токи и скин-эффект
378. Щх) = Но(,'1У6 + с°'1Ф)К Но = %Лп; " = -Н=-
V sh h/8 + cos h/8 J у/2щюш
(h-|x|)
При 5 <C h, H(x) = Ще 6 ; при 5 " h, H(x) = Но (ср. с зада-
чей 247).
379. Так как система симметрична относительно оси цилиндра, а первичное
магнитное поле Но однородно, то ясно, что вихревые токи в цилиндре будут
