Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
§3. Ферромагнитный резонанс
328. Мх = j4sin(a)oi + а), Му = Acos(wot + а), Mz = С, где шо = 'уНо, а
- начальная фаза, А и С - константы, связанные условием М2 = Мц, т. е. Л2
+ С2 = Мц, где Мо - намагниченность насыщения. Движение вектора
намагниченности представляет собою обычную лармо-рову прецессию.
346
Глава VI
329. Ищем решение уравнения
= -7М х Н0 + о;г(хоН0 - М)
(1)
в виде Мх = тхе~шЬ, Му = туе~гш1, Mz = Mq + mze~%blt, где из -
неизвестная частота; ось z направлена вдоль Но.
Проектируя (1) на оси координат и подставляя М, получим систему
алгебраических уравнений, условие совместности которой имеет вид
Частота о; оказывается комплексной: из = изо-шг; наличие потерь приводит,
как обычно, к затухающему движению. Компоненты тх и ту сдвинуты по фазе
на -к/2. Вектор М совершает затухающую прецессию вокруг Но-
330. Если выбрать ось а вдоль Н, то полное магнитное поле будет иметь
составляющие hxe~t<vt, hye~lult, Но + hze~гш1. Ищем решение уравнения
Ландау - Лифшица (VI.15) в виде
где Мо - намагниченность насыщения. Эта форма решения соответствует
предположению, что ларморова прецессия прекратилась вследствие затухания
и колебания поддерживаются только высокочастотным (вынуждающим) полем.
Поэтому нужно считать величины тх, ту, mz малыми, порядка не ниже h.
Подставляя (1) в уравнение Ландау-Лифшица и отбрасывая квадратичные по h
и т члены, определим компоненты т:
Как видно из этих формул, характер зависимости тх и ту от из при
фиксированной изо = iHq или от Но при заданной из - резонансный: в точке
из = изо компоненты тх и ту неограниченно возрастают, наступает
ферромагнитный резонанс.
Неограниченное возрастание амплитуды m связано с приближенным методом
решения уравнения Ландау-Лифшица. Точное решение (см. задачу 332) должно
обеспечивать постоянство длины |М|, так как из уравнения Ландау-Лифшица
следует М2 = const. При решении задачи методом последовательных
приближений с учетом потерь М также остается ограниченным.
из$ - (из + гизг)2 = 0.
Мх = тхе шЬ, Му = тпуе гш1, Mz = М0 + mze (1)
(2)
§ 3. Ферромагнитный резонанс
347
331.
где
/М-L ~Ща 0 \ Mifc =\Ща М-L О
где
(Л± = 1 + 47ГХ±, Ма = 47ГХа, М|| = 1-
Как видно из приведенных формул, Xik и Hik - эрмитовы тензоры (цу, = =
/Х/у) - Это означает, что среда является гиротропной, а потери
отсутствуют.
Графики зависимости компонент цу, от частоты приведены на рис. 72.' Яорез
~ 3400 э.
332. Мх = cosuit, My = sinuit, Mz = C,
где Aw = ujq-uj, wo = iHq, uj\ = 7/1. Постоянная С может быть определена
из условия Мх + М2 + М2 = Mq, которое следует из уравнения Ландау-
Лифшица:
где П = у/Aw2 + u>f.
В выражение С входит модуль |Aw|, так как Мг > 0. Компоненты М примут
вид:
Здесь знак ± соответствует знаку 6и>. Как следует из этих равенств, связь
между М и h нелинейна, коэффициент пропорциональности х зависит от h:
Мх = ±^М0 cos u>t = xhx,
(1)
7М0
1 Рис. 72 и 73 взяты из книги А. Г. Гуревича [48].
348
Глава VI
Угол прецессии д (угол между М и (Но) определяется равенством
где Mj_ = yjМ2 + М2. При ферромагнитном резонансе Да; = 0, и из (1)
получим
Мх = ±Мо cos а>t, Му = ±Мо sin wt, Mz = 0.
Вектор М в этом случае вращается с частотой ш в плоскости,
перпендикулярной Но, его компоненты не обращаются в бесконечность.
333. М = Мо + me iu,t, где Мо имеет направление Но, а компоненты m
определяются формулами
Л" Ра
Рис. 72
§ 3. Ферромагнитный резонанс 349
Как видно из этих формул, наличие потерь (изг / 0) приводит к тому, что
при резонансе амплитуда m остается конечной.
334.
(М± ~гМа 0\ м±=м'±+гм",
/Нк - ( гМа 0 I , I .¦ и
\0 0 /Х||/ Ма - А*а + гМа 1
, П2(П2 - из2) + 2из2из2
1*± = 1 + 4ттхо
(О.2 - их2)2 + 4из2из2 '
U3U3r(Q2 + 1л)2)
(П2 - из2)2 + 4из2из2 ' U3U3o(Q2 - из2)
(ft2 _ + 4^2^ '
II , из2из0изг
Ма =4ТГХ0-
(П2 - из2)2 + 4из2из2'
где
П = yju3% + w2, w0 = 7Я0,
Mil = 1 + 4тгхо , Яорез И 3400 э.
Графики зависимости /х', и /х" от постоянного поля Но приведены на рис.
73. Зависимость /х" и /х" от Но имеет аналогичный вид.
Мнимые части /х" и /х" имеют максимумы при Но = Яорез ~ Ц->
а вещественные части /х" принимают экстремальные значения при Но ~
^ из ± и>г ~ 7 •
Кривые, изображенные на рис. 73, имеют такой же характер, как
дисперсионные кривые для е(из) (см. рис. 16).
Мнимые части компонент тензора /х" и /х", /xjf определяют диссипацию
электромагнитной энергии. Они обращаются в нуль при изг = 0.
335. ДЯ0 = Щ-.
350
Глава VI
Рис. 73
336. Выберем оси координат вдоль главных осей эллипсоида, ось z направим
вдоль поля Но. В этих осях тензор имеет диагональный вид. Поэтому
уравнение Ландау-Лифшица в проекциях на оси координат запишется так:
Мх = -7[Я0 + 4tt(7V(") - М*))МХ]МУ,
Му = 7[Я0 + 4тг(N& - N^)MZ\MX, (1)
Mz = -4тг7(ЛГ(х) - N^)MxMy.
Таким образом, уравнения становятся нелинейными. Предполагая, что
отклонения вектора М от равновесного положения (направление оси z) малы,
ищем решение в виде
М = М0 + те'"1, (2)
где вектор Мо направлен вдоль оси z. Если пренебречь членами с тп2,
