Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
у 2жа'
Как следует из последней формулы, эффективная площадь сечения проводника
при сильном скин-эффекте равна 2ira5.
394 Д - ш^2 ^ _ ^2) sin 2h/S2 - (<5? + <5г) sh 2h/S2 + 26162 cos 2h/62
2ас2 (61 sinh/62 + 62 cosh/62)2 + (62 + <5|)sh2 h/62 '
где 5i = c , 62 =
с
y/2naiu> y/2n<T2b>
395 H' =_____________2^°_______ где к = 1 + *
" ka sh kh + 2 ch kh ' 6 '
При \kh\ < 1 (малые частоты) H' = Но т. е. наличие цилиндрической
оболочки не сказывается на величине поля. При \kh\ 1 (большие частоты),
имеем:
sh kh и ch kh и W1+*^;
380
Глава VII
так как а 8, то
Я' = (1-*)|^_(1+<)*Яо, Я0"|Я'|.
Сильное ослабление поля получается за счет того, что вихревые токи,
возникающие в оболочке, создают в полости добавочное поле обратного
направления.
396. j =
sh k(h - x)
<?ка ch kh
по радиусу в глубь проводника;
, где х отсчитывается от поверхности
R
sh 2h/8 - sin 2Л/<5
2naSa 2(sh2 h/S + cos2 h/S)
Полый и сплошной проводники имеют одинаковое сопротивление при 8<g.h.
397. Выберем цилиндрическую систему координат, как показано на рис. 78.
При слабом скин-эффекте касательная к стенке трубы компонента магнитного
поля на поверхности S этой стенки должна удовлетворять условию
Я2т - я1т = (1)
где г = ahE = - поверхностный ток,
? - поверхностная проводимость.
Электрическое поле, которое будет иметь, очевидно, только 2-компоненту,
должно быть непрерывно на той же поверхности S: ч
Рис. 78 Е!=Е2 = Е. (2)
Дальнейшее решение весьма сходно с решением задачи 159 (задача о слабо
неконцентрических сферах). С точностью до членов {l/а) уравнение границы
запишется в виде
г = a + l cos а. (3)
Векторный потенциал, направление которого совпадает с направлением тока,
ищем в виде
Ai = -Щ- In ? + Circosa + С,
Bi
г
(4)
§2. Вихревые токи и скин-эффект 381
где Ci и В\ - функции времени, имеющие первый порядок малости
относительно (l/а), У - имеет нулевой порядок относительно (1/а).
При слабом скин-эффекте (h<g. 6) векторный потенциал удовлетворяет
условию:
А\ = Ач при г = a + l cos а. (5)
Отсюда, отбрасывая члены порядка (l/а)2, находим
B1=a2C1 + 2{J'~J)l, С = 0. (6)
В граничном условии (1) можно заменить НТ на На. Как легко проверить, это
приведет к ошибке порядка (l/а)2. Поскольку
и ___ дА •______лр______ С дА
имеем на S:
дА\ _ дА2 = 47гС дА дг дг с dt
или, с точностью до (1/а),
W -*) 1П" - - Г 2 d(Jl) dCil rn.n
-----------\- 2Ci cos a = -T-------7----1- a-r- cos a.
ca c1 lea at at J
Отсюда сразу следует J = J'; этот результат связан с тем, что скин-эффект
считается слабым. Для С\ получается дифференциальное уравнение
<*С, ,, 2 ¦*(•")
~dT + pCi J-c~dT- (7>
2
Параметр р = " ' совпадает со значением сопротивления единицы
2тг aQ
длины трубы, выраженным в электромагнитных единицах.
Решение уравнения (7) легко получить методом вариации произвольных
постоянных. Оно имеет вид
t
Сх = Ъ1 е/>(г~4)|:№Ж^
-ОО
(считаем, что при t -* -оо ток отсутствовал).
382 Глава VII
Сила /, приложенная к единице длины тока может быть вычислена по формуле
где Ну - магнитное поле на прямой, вдоль которой течет ток $, создаваемое
током, текущим в оболочке. Этому полю соответствует векторный потенциал
А' - C\rcosa - С\у,
откуда
Окончательно
-ОО
Рассмотрим некоторые частные случаи. Если ток постоянный (J1 = = const),
то
t
fx =
2 J(t)2 <?й2
При отклонении тока от осн цилиндра (I > 0) возникнет сила,
препятствующая этому отклонению. Прн медленном движении (I <С pi),
интегрируя по частям, найдем
/ =2*i(L-±+ )
1х с2а2\р р2 )'
kР Р
В частности, при равномерном перемещении I = vt тормозящая сила
Глава VIII
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
§ 1. Плоские волны в однородной среде. Отражение и преломление волн.
Волновые пакеты
399. Амплитуда первой волны Ei = аех, амплитуда второй волны Ег = Ьегхеу,
а и 6 - вещественны; результирующая амплитуда
Ео = Ei + Ег = аех + 6е**е^.
Для выяснения характера поляризации удобно так сдвинуть начало отсчета
фазы, чтобы в двух взаимно перпендикулярных направлениях получились
колебания, отличающиеся по фазе на тт/2. Введем новую амплитуду Eq = Еое-
га = S' + iS" и потребуем, чтобы векторы S' и S" были вещественными,
причем S' • S" = 0 (рис. 79):
(1)
S' = a cos а • ех + b cos(a - х) • ev,
S" = -asinaex - 6sin(a - х)еу
Определим сдвиг фазы а из условия S' • S" = 0:
a2 cos a sin a + b2 sin(a - x) cos(a - x) = 0,
откуда
b2 sin 2x (Л
tg 2 Oc 2 i u2 o' ^ '
az + bz cos2x
Определив из уравнения (2) угол а, подставим его значение в (1) и найдем
S', S". Введя в плоскости ху новые оси х' || S' и г/ || S", получим
384
Глава VIII
в этих осях:
Ех> = 8' cos(u>t - к • г - а), 8" sin(u>i - к • г - а).
Рис. 79
Еу/
л El' , El' 1
Очевидно, что - + - = 1, т. е конец вектора Б описывает эллипс.
В общем случае 8', 8" ф 0. Колебания по оси х' опережают колебания по оси
у' на 7г/2. Если ориентация осей х', у' такая же как х, у, т. е. х', у z
образуют правую систему координат (этот случай изображен на рис. 79), то
для наблюдателя, к которому движется волна (движение вдоль оси z), вектор
