Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
ll2 2 \LCi LC2 LiCi L2C2J
± d/[lfl + _U _ J_fl + J.)!2 + 4 A
2lLCiU + Li/ C2ll IiiJ L2CiC2J
2 "L1Ci + L2C2±[(L1Ci-L2C2)2+4CiC2L?2]5
356. о = <r---------------=------------5--------------.
1,2 2CiC2(LiL2 - L?a)
357. Составляя систему уравнений относительно токов и приравнивая нулю
определитель системы, получим после некоторых вычислений уравнение
четвертого порядка:
из4 + - о)2(ш2 + из2) - + ^1^2 = (!)
где из 1 = = -S=, П = RCi, т2 = RC2.
\JL\C\ \L2O2
Коэффициенты этого уравнения комплексны, поэтому частота из будет также
комплексной: из = из' + ш". В нулевом приближении в уравнении (1) можно
отбросить члены с т\, т2. Тогда уравнение (1) примет вид
LJ4 - U2(lJi + U3 2) + из\из2 = 0. (2)
§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках 357
Уравнение (2) имеет следующие решения: = wi и = из2. Таким
образом, в этом приближении из" = 0, и не происходит диссипации энергии
(так как мы считали, что R бесконечно велико); колебания в каждом контуре
происходят независимо. В следующем приближении ищем из в виде из = =
+ Айз' + iu>", где из", Айз' порядка 1/т или выше. В соответствии
с этим, пренебрежем всеми членами более высоких порядков. Подставляя из в
(1), учитывая (2) и приравнивая нулю отдельно вещественную и мнимую
части, найдем
До/ = 0, из'{ = -¦?-, щ?' = _А.. (3)
Поправка к из', содержащая R, появится только в следующем приближении.
358.
Л =----------*
е*
&
^1тах=д При U3 =
^__ijjjL
359. Z =---------------, где u3i = с - собственная частота коле-
х-Ц-^яс ^
баний в контуре. При = = становится бесконечно большим.
Это свойство рассмотренного двухполюсника используется в радиотехнике
(запирающие фильтры).
360. С = Со, L = L0, Д=^,где?0 "2
С
с2 ' ~ и WpCo
361. Q = I Re(^*) = ±И2 Re(l) = ± • -^C0|l/0|2,
w=i{1+^h)c^-
358
Глава VII
362. С = Со, L =
с2 Гл = fp_r г> _ 1к _ 7
2/-" ' 2 ¦"* 2 2/-" *
ШрСо с ш*>Со
1
363. Q = i
2 (w2 _ ш%)2 _|_ ^2^2
•Colt/ol2,
w=4
i +
Шр(ш2 + U>o)
Co\Uo\2.
(ш2 - Шо)2 + ш272.
364. Обозначим токи, текущие через индуктивность, конденсатор и батарею,
через "^i, "^2, *^з- На основе законов Кирхгофа получим уравнения
J?l+J?2 + ^3 = 0, ^J1 = ^- = g(t)+J3R, (1)
с о
где q(t) - заряд на обкладке конденсатора, связанный с соотношением J*2 =
q, а
*п\ - J 0 14511 4 < °'
при t>0.
Из (1) получаем уравнение второго для тока Соответствующее
характеристическое уравнение имеет корни
Х = ~2RC ± 'Jiwc) = W
В зависимости от соотношения между R, L, С возможны три случая:
а) и>о > находя решение для методом вариации произвольных
2НО
постоянных Лагранжа (см. [94], § 25), получим
= \/""2 - (гяс)2;
б)w°= д 1 -" ±нс{тнс +ctlfii)]'
УЗс*
Ш° = 2ШС; = R 1 _ (* + Шс)е~2ИС\ В послед(tm)* случаях переходный процесс
является полностью апериодическим, колебаний не возникает.
где и/
где О,
§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках
359
365.
' 0 при t < О,
U2(t)
Ur
t
RC
366.
при О < t < Т,
I - \
Uq \е RC - е RC J при t> Т.
' О при t < О,
U2(t)
Rct
un
Me
при 0 < t < T,
Rc2(t-T)
Ret
L
^ при t > T.
367. На вход четырехполюсника нужно подать импульс ' 0 при t < -Т,
hEo ^1 + ^ при - Т < t < О,
hE0 (l - ^ при О < t < Т,
, О при t>T,
U,{t) =
Начало отсчета времени выбрано так, что поле между пластинами
конденсатора достигает максимума при t = 0.
368. I(t) =
где tgip = Переходный процесс отсутствует, если tg</?o = ~^г- Это с R
uL
условие имеет простой смысл: в момент включения стационарное значение
тока должно быть равно нулю.
369. При гармонической зависимости токов от времени, уравнение Кирхгофа
для п-го контура запишется так:
So
Rc t
: |cos(u;t + ipo - ip) -e L cos(</?o - V5)] >
Rc
-^n + П - Л.-1 - Sn+l) = 0.
(1)
360
Глава VII
Уравнение (1) представляет собою разностное линейное уравнение с
целочисленной независимой переменной п. Оно имеет (ср. с задачей 223) два
линейно независимых решения sin хп и cos хп, причем частоты собственных
колебаний выражаются через параметр х:
Здесь г может принимать любые целочисленные значения (г = 1,2,...).
Значение г = 0 соответствует нулевому току в цепи. Однако вследствие
будет конечно. Чтобы получить весь спектр частот, достаточно менять г в
пределах 1 < г < N. При этом х будет меняться в пределах 0 < х < 7г,
каждому х будет соответствовать одна собственная частота, а всего частот
будет N, как и должно быть в системе N связанных контуров. Они будут
лежать в интервале 0 < и> < 2uiq.
Для интерпретации величины х введем координату уп = ап тг-й ячейки (а -
"длина" одной ячейки цепи). Тогда (3) вместе с временным множителем можно
записать в виде
Выражение (4) представляет собою суперпозицию двух волн, бегущих в
противоположных направлениях. Величина к играет роль "волнового вектора"
колебаний, распространяющихся по цепочке из отдельных дискретных звеньев.
Фазовую и групповую скорости этих волн можно вычислить по обычным
формулам
2 о 2 • 2 х
и> = ЗЦ) sin
(2)
Используя граничные условия J?o = = 0, находим
J>n = A sin хп, х =
