Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
намагниченность в каждой точке зависит от значения магнитного поля не
только в этой, но и в соседних точках (член <jV2M в выражении для Нэфф).
Эффект зависимости электрической или магнитной проницаемостей от
волнового вектора называется пространственной дисперсией. Зависимость ц
от к играет существенную роль только в случае сильно неоднородных полей
(малые длины волн).
447. Ищем совместное решение уравнений Максвелла и уравнения движения
вектора намагниченности (VI. 15), имеющее вид плоских монохроматических
волн:
E = E0e<(k-r-u't), H = H0+h0e<(k-,-u't), М = M0+moe<(k'p_,,,t). (1)
Амплитуды полей и намагниченности удовлетворяют системе уравнений:
с(к х h0) = -ljeEoi с(к х Е0) = w(h0 + 47rm0), к • (h0 + 47гт0) = 0,
(2)
шт0 = -7(М0 х h0) - 7(то х Н0) + 7<?fc2(M0 х т0). (3)
Исключая Ео и ho из (2), (3) и вводя обозначения
LJ о = 7Я0, ^1 = 7"jfc2Mo, LJM = 47Г7М0,
получим
где п = е2 - единичный вектор в направлении Но (Мо параллелен Но).
К
§2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах 411
Выберем ось х в плоскости (n,ez) и обозначим угол между ег и п через в.
Из (4) следует система линейных уравнений относительно компонент то:
ixmox + (l + ?2 ) т°У =
-2
(l + 2Ц cos2 e'jmox - ixmoy = 0.
Условие разрешимости этой системы дает искомое дисперсионное уравнение
Это уравнение - третьей степени относительно и>2 (и>2 = Sl2x2, П не
зависит от и>), поэтому в рассматриваемой среде могут распространяться
волны трех разных типов, различающиеся законами дисперсии. Два из этих
законов дисперсии были исследованы в задаче 435 (где мы полагали ш\ = 0).
Им соответствуют обычные электромагнитные волны, распространяющиеся в
гиротропной среде. Для исследования третьего типа волн используем 2
условие Щ-Щ; "С 1 (при этом х2 "С ?2). Пренебрегая в знаменателях в урав-
с к
нении (4) х2 по сравнению с ?2, получим третий закон дисперсии:
и>2 = (и>о + u>i)(u>o + и)\ + и>м sin2 в) (6)
(здесь ш\ = qjk2Mo зависит от абсолютной величины волнового вектора). Из
условия и> е "С (?к2, считая и>о, и и>м сравнимыми по величине, находим,
что закон дисперсии (6) справедлив только при выполнении условия ?2 1.
Найдем относительную величину Eq и ho для волн с законом диспер-
2
сии (6). Используя уравнения Максвелла (2) и условие "С 1, получим
с к
Ео и х m); ho " 47гп(п • т).
ск1
Таким образом, Ео ho- Рассматриваемые волны представляют собой чисто
магнитные колебания вектора намагниченности, при которых электрического
поля не возникает. Они называются спиновыми волнами и определяют многие
магнитные, тепловые и электрические свойства ферромагнетиков.
412
Глава VIII
448. Направим ось у в глубь металла нормально к поверхности, ось z -
вдоль постоянного магнитного поля. Поскольку импеданс ? не зависит от
угла падения волны, рассмотрим случай нормального падения. Решая
уравнения Максвелла и пользуясь определением поверхностного импеданса,
получим
Зависимость ?zz от частоты носит резонансный характер (см. задачу 331, в
которой вычисляются компоненты Ц{к). Компонента ?хх не обладает
резонансными свойствами, так как /хц = 1.
450. Удобно ввести цилиндрические координаты с осью z вдоль оси цилиндра
и отсчитывать угол а от направления волнового вектора к падающей волны.
Из соображений симметрии следует, что векторы поля не зависят от z и
имеют только компоненты Ez, Нг и На. Опуская в дальнейшем везде временной
множитель е~гшЬ, воспользуемся для определения отличных от нуля компонент
поля волновым уравнением (VIII.6) для Б и уравнением Максвелла (VIII. 1).
Первое из них позволяет определить Ez, а второе - выразить Нг и На через
Ez:
где
§ 3. Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах. Дифракция
_ j_дЕг н 1 dEz
r ikr да' а ik дг '
(1)
Вторичное поле Е' = Е - Ео, вызванное наличием цилиндра, удовлетворяет
уравнению
§ 3. Дифракция 413
Если положить Е' = R(r)Ф(а) и разделить переменные в уравнении (2), то
получим
Rm + fR'm+(k'2-1^)Rm = 0, (3)
Ф"+Ш2Фт = 0. (4)
Через т2 обозначен параметр разделения. Общее решение уравнения (2)
запишется в виде суммы по всем допустимым значениям т:
E'(r,a) = J2*m(<*)Rm(r). (5)
т
Чтобы записать решение уравнения Бесселя (3) сразу в удобной для нас
форме, обратимся к граничному условию г -* оо. Поскольку Е' описывает
вторичное поле, создаваемое наводимыми на цилиндре токами, то при г -> оо
оно будет иметь вид расходящихся цилиндрических волн. Это означает, что
Е' должно быть в этой области функцией вида
E' = g0f{a)^. (6)
Условие (6) будет удовлетворено, если в качестве решения
уравнения (3) выбрать функцию Ханкеля Hm\kr) (см. приложение 3),
которая
при больших г имеет вид
Н"(Лг) = (*г"1).
Второе линейно независимое решение будет содержать член вида coi^tg-tfo-,
описывающий сходящуюся цилиндрическую волну, которой
Vr
в условиях нашей задачи быть не может. Поэтому решение уравнения (3)
запишем в виде iZm(r) = Hm\kr). Уравнение (4) имеет решение
Фт(а) = Ameima + Bme~ima.
Так как при изменении а на 2п поле не может измениться, число т должно
