Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
именно
/' = А/.
1 А'
Рис. 89
Линейное увеличение выражается формулой
2Д = Р + Я = X Я
2D Р А /'
где
1 , 1 = 1_ =
Р Я f А/'
р - расстояние от источника волн А' до голограммы, a q - расстояние
изображения от голограммы (рис. 89). Чтобы достичь увеличения, надо
использовать при восстановлении длину волны А' > А, а источник помещать
да конечном расстоянии р от голограммы.
§ 5. Дифракция рентгеновых лучей
439
499. Распределение интенсивности на голограмме может быть передано без
существенных искажений, если пространственный период дифракционной
картины больше, чем d,
в+ -
/А
(см. решение задачи 496). Этим условием ограничивается максимальный
размер голограммы в направлении х 2хтвх и 2 A f/d. Этот размер играет
роль диаметра линзы в теории разрешающей способности Рэлея (ср. с задачей
426). Применяя критерий Рэлея для минимального размера s предмета,
который может быть разрешен, мы получим
A Xf d
s и -г и ^-------и -.
2-в 21^ 2
Здесь -в - половина угла раствора конуса лучей, идущего от голограммы к
изображению.
§ 5. Дифракция рентгеновых лучей
500. Прежде всего необходимо, чтобы выполнялось неравенство и> 3> 3>
Однако этого недостаточно. Рассмотрим сначала случай, когда длина I
когерентности велика по сравнению с размерами L тела. Тогда при
достаточно малых углах рассеяния д < Х/L произведение qL <с 1, экспоненты
в формулах (VIII.43) или (VIII.45) для сечений близки к единице f nexp[iq
• г] dV = NZ. Если длина волны А ^ L, то это выполняется при любых углах.
При этом мы получим, например, из (VIII.43)
da = TqN2Z2 sin2 в dQ. (1)
Эта формула соответствует когерентному томсоновскому рассеянию на всех NZ
зарядах тела. Если же, например, длина когерентности меньше межатомного
расстояния, но больше размера атома, то при -в < Х/l когерентно сложатся
только вклады от Z электронов атома, и в формуле (1) вместо N2Z2 нужно
будет написать NZ2. При больших значениях углов величина сечения будет
резко убывать из-за быстро осциллирующего множителя exp[iq • г] под
интегралом.
440 Глава VIII
501. Концентрацию электронов в газе можно представить в виде суммы
членов, относящихся к отдельным атомам, п(г) = ^ na(r-Ra), raeRa
а=1
характеризует мгновенное расположение a-го атома. Тогда
| Jп(г)exp[iq • г] dV = | ^exp[iq • Ra] Jn0(r')exp[iq- r']dV'
= ^"(q)!2! ?exp[iq • R"
2
, (i)
где r' = г - Ra, a Fa(q) - атомный формфактор (VIII.47). Усреднение в (1)
должно быть выполнено по всем положениям Ra- Так как атомы
в газе расположены хаотически, то | ^exp(iq • R")|2 = N. В
итоге, для
a
деполяризованного излучения
da = ^Го(1 + cos2i?)|F0(9)|2AT(ifi. (2)
Вычисление формфактора при заданной в задаче плотности п0(г) выполняется
элементарно и дает
FM = ,.to (3)
Окончательно:
da(i?) = 2,2^r\nQaN-------\+C°f ^ dQ.
[*+(*)-*sr
Из экспериментально найденного сечения (2) можно получить модуль
формфактора. Для нахождения распределения электронов надо, вообще говоря,
знать еще фазу формфактора.
502. da = ATrg1 + ^* \Fa(q)|2 • 2(l + dSl.
Сечение отличается от сечения рассеяния на изолированных атомах
, sinqR\
структурным множителем 2^1 Н-------^ J, зависящим от взаимного распо-
ложения атомов в молекуле.
§5. Дифракция рентгеновых лучей 441
503.
ОО
2F = JVr?(l + cos2 >9)|Fo(g)|2 ¦ / (1 +
-ОО
Существенна сравнительная величина 1/д и 6. При q > 1/6 исчезает быстро
осциллирующий член с sin д(До + я)- Тепловое движение уничтожает
структурный эффект при таких передачах. При q <С 1/6 структурный мно-
, , sin qRo
житель имеет тот же вид 1 Н-----------, что и в случае неподвижных ядер.
qRo
505. Направим оси х, у, z вдоль ребер L\, Ь2, L3 монокристалла. п(г)
exp[iq • г] dV = Fa(q) exp[iq • R] =
1 Ь
= F"(q) f ^2 exp[iqrxani] J ( 5Z ехр[гду<т2] J ( 5Z exp[igzan3] J = '"1=0
' П2=0 ' 'n3=0 '
_ 1 - exp[iqxaNi] 1 - exp[iqyaN2] 1 - ехр[гдгаЛГ3]
" 1 - exp[iqrxa] 1 - ехр[гд"а] 1 - exp [г a] '
где N1 = L\/a, N2 = L2/a, N3 = L3/a - числа элементарных ячеек вдоль
ребер L\, L2, L3; очевидно, N = N1N2N3. Используя (VIII.45), получим
. 2 qxaNi . 2 Qya.Ni . 2 QzaN3
2 sin -s- sin -^r- sin -7r-
da = -75-(1 + cos2 i?)|Fa(q)|2-------------------------------------d?l.
(1)
2 v n . 2 . 1 Qya ¦ 1 Qza v '
sin2 sin2 \ sin2
Положения главных максимумов определяются условием обращения знаменателей
в нуль, откуда следует, что qx = 2жтх/а, qy = 2жту/а, qz = = 2жтг/а, где
тх, ту, mz - целые числа. Последние равенства представляют собой
уравнение Лауэ, записанное в проекциях, поскольку компоненты g выражаются
формулами: g = (тх/а, ту/а, mz/a). В максимумах сечение
da = ^(1 + cos2tf)|Fa(27rg)|2^-
& а°
Оно пропорционально квадрату объема кристалла. Результаты задач 505-509
справедливы, только если монокристалл целиком расположен внутри объема
когерентности (см. § 4).
442
Глава VIII
506.
da = у(1+cos2i?)|Fa(q)|2x
sin
qzaN3
4 sin2 ^ sin2 ^
X
. qxaNi sm 2 (qx +qy)aN1 sin 2
sin - sin {q*\q*)a
+
+ 4 sin
2 qyaN, sin sin
qxaNi . (qx + qv)Nia '
