Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
(Хтпг) + BmnNm{xmnr)\ sin(ma + V'm), ш = 0,1,2, ..., где хтп - тг-й
корень уравнения
что совпадает с групповой скоростью vg.
518.
(1)
где А - постоянная, а остальные компоненты полей равны нулю. Поток
энергии
(2)
j-m (-^^) Nm (xb) Jm{xb)Nm{xa) - 0.
Электромагнитные колебания в ограниченных телах 451
Здесь Nm, Jm - цилиндрические функции (см. приложение 3), Атп и Втп -
постоянные, связанные условием
"I" BmnNm(xmn<l) = 0.
Волны магнитного типа:
2/€z = \(-'тп'7т(хтп'г) + DmnNm(xmnr)\ sin(ma + фт)^ тп = 0,1,2,..., где
хтп - п-й корень уравнения
J'm(xa)N'm(xb) - N'm(xa)J'm(xb) = 0, а Стп и Dmn связаны условием:
Cmn ^771 ( X-mnd) Ч" ^тпп^т ( Хтп O') = 0-
Остальные компоненты электрического и магнитного полей выражаются через и
Жг с помощью уравнений Максвелла.
520. а = С'(а + 6)
2abIn(Ь/а)' где С' = Re С-
521. Если поле симметрично относительно оси провода, продольная
компонента 8Z удовлетворяет уравнению
^ + Ш*+Ж2*, = 0. (1)
dr2 г dr
Поскольку рассматривается проводник с конечной проводимостью, параметры к
их будут комплексными. Определим знак х так, чтобы 1т х = = х">0.
Общее решение уравнения (1) запишем в виде
gg(r) = A'Hq1\xt) + B'Hq2\xt),
где Hq1^, - функции Ханкеля. Из асимптотического поведения этих
функций (см. приложение 3) и условия 1т х > 0 следует, что должно быть В'
= 0, так как в противном случае поле будет возрастать на бесконечности.
Остальные компоненты % и Л? выразим через 8Z с помощью уравнений
Максвелла:
Sz = A'H^(xr), §г = ЩА'н[1\хг), Ha = %A,H[1\xr). (2)
452 Глава IX
При достаточно больших значениях хг функции и пропорциональны j_e~x "г и,
следовательно, электромагнитное поле затухает
у/ЗСГ
экспоненциально на больших расстояниях от провода. Максимальная
концентрация поля существует вблизи провода, волна имеет поверхностный
характер.
Граничное условие Леонтовича на поверхности провода
8, = С^а
приводит к характеристическому уравнению для определения х\
Н^(ха)
ХанЫ( \ = ^а'
Яj (ха)
Здесь ( - поверхностный импеданс металла. Для хорошего проводника |?| <С
1, поэтому последнее равенство может выполняться только при малых ха.
Пользуясь приближенными формулами для Яд1^ и я}1^ (приложение 3), получим
(ха)2 In(^) = г<?а, 1п7 = 0,5772. (3)
Трансцендентное уравнение (3) нельзя решить графическим методом, так как
входящие в него величины комплексны. Зоммерфельд использовал для решения
этого уравнения метод итераций, основанный на том,
что In ха изменяется значительно медленнее, чем ха. Обозначим =
= и, ~^~(а = v- Тогда уравнение (3) запишется в виде
u In и = v.
Если найдено приближенное значение ип (n-е приближение), то более точное
значение un+i ((п + 1)-е приближение) можно получить по формуле
un+i lnu" = v.
В нулевом приближении можно положить щ = v, тогда
Электромагнитные колебания в ограниченных телах 453
Для дециметровых радиоволн (А = = 30 ему распространяю-
щихся вдоль медного провода радиусом 1 мм (проводимость меди а = = 5,2 •
1017 сек-1), расчет указанным методом с использованием формул
(Vni.9HVHI.ll) дает
и и (4,2 + 4,5") • Ю-8,
откуда
k= ?[1 + (6,0 + 6,4г)-10-5].
Фазовая скорость волны
"* = i&t = <1"610"5)c<ci
волна несколько замедлилась.
Этот результат можно понять из следующих соображений. В случае идеальной
проводимости провода поперечная электромагнитная волна имеет фазовую
скорость с, поле внутри провода равно нулю. При конечной проводимости
часть энергии будет распространяться внутри провода; так как скорость
распространения в металле значительно меньше с, то "в среднем"
электромагнитная волна замедлится. Кроме того, появится затухание.
Исследуем характер поля в предельном случае ? -> 0 (идеальная
проводимость). При этом, как следует из (3), ус -> 0, к -> Используя
выражение функций Яц1^ и н[^ при малых аргументах, получим из формул (2)
= lim
2iA!
2i )'
7Г
ln(
= lim
2 kA' 1
0 7Г x1
Жа = lim
2k A'
0 ЖХ1
Поскольку компоненты поля не могут принимать бесконечных значений, нужно
предположить, что величина А' пропорциональна х1. Положим А! =
= А^г-, тогда к
§г = Жа = ф, sz = o.
Это - чисто поперечная электромагнитная волна, распространяющаяся со
скоростью с.
454 Глава IX
522. Составляющие электромагнитного поля в волноводе определяются
следующими выражениями: при г ^ а
ёх = §oJo(x\r), §r = -i^SoJ\(x\r), Жа = при а ^ г ^ 6
8Z = AJ0{x2r) + BN0{x2r), §r = ~i^[AJi(x2r) + BNi{x2r)\,
= -г?%1АМ*2г) + BNi(x2r)\.
Здесь x\ = ~ k2> = ^Щ- So, А, В - постоянные.
Граничные условия запишутся в виде
g.\ L = 0, 8г\ n = 8z\ Л?а1 п = 3?а\
1г=Ь ' zlr=a-0 zlr=a+0' а1г=а-0 а1г=а+0
При этом граничное условие для 8а будет выполняться автоматически.
Исключая постоянные А, В, So, получим трансцендентное уравнение,
связывающее к и ш:
?х\ Jojxia) Jo(x2a)No(x2b) - N0(x2a) Jp(x2b)
*2 Ji{xid) Ji(x2a)N0{x2b) - Ni(x2a)Jo{x2b)'
При a -C b это уравнение существенно упрощается. Рассмотрим волну,
которая будет иметь наибольшее к. Если бы волновод был заполнен
диэлектриком целиком (а = 0), то соответствующее значение х2 было бы
