Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
сг ь
Постоянная распространения к связана с х и з соотношениями (4).
Из графического анализа легко получить, что при г < ^ нечетные
электрические волны не могут существовать. Остальные закономерности
качественно те же, что и для четных волн.
Волны магнитного типа можно проанализировать таким же путем.
513. Вдоль слоя могут распространяться четные волны электрического типа
и нечетные волны магнитного типа с теми же характеристиками (постоянная
распространения, конфигурация полей в области х > 0 и др.), что и в
предыдущей задаче.
514. Волны электрического типа.
Для определения волн этого типа нужно решить уравнение для продольной
компоненты электрического поля:
дЧ, idS, 1 ЭЧ,
+ + + (1) Уравнение (1) интегрируется путем разделения переменных.
Частные решения имеют вид
gz(r, а) = Jm(xr) sin (та + фт), (2)
где Jm - функция Бесселя, ф - произвольная постоянная. Чтобы поле
возвращалось к исходному значению при изменении а на 2п, нужно считать тп
целым числом (тп = 0,1,2,...).
Поперечные компоненты электрического и магнитного полей выражаются через
§z с помощью уравнений Максвелла:
§r = ^JL(xr) sin(ma + фт),
@а = ^p^Jm(*r)cos(ma + фт),
Жг = --ir^Jm(xr) cos (та + фт),
УГСГ
Я" = wJ(tm)(*r) sin(ma + фт).
448
Глава IX
Возможные значения параметра х определяются из граничных условий на
стенке волновода:
$г\ = 0, $а\ = О*
г1г=о ' "1г=о
Это дает хтпа = атп, где атп - n-й корень функции Бесселя: Jm{amn) = = 0,
п = 1,2,...
Таким образом, волны рассматриваемого типа характеризуются двумя
индексами тп, п; при т = 0 поле обладает симметрией вращения относительно
оси z. Фазы ipm в случае идеального волновода определяются условиями
возбуждения. В реальных случаях, однако, они существенно зависят от
дефектов стенок волновода (отступления от круговой формы сечения,
продольные царапины и т. д.).
Распространение волны вдоль волновода возможно, если к= х2
будет вещественной величиной. Поэтому волна типа тп, п будет
распространяться в волноводе, если ее частота удовлетворяет неравенству
,2Л.2
с а:
а2
Наименьшая частота возможна для волны типа (0,1):
са01 0 . с wo - -Q- ~ 2,4-.
Соответствующая длина волны
Л" = ^2,6а
- порядка радиуса волновода.
Волны магнитного типа:
= Jm(xr) sm(ma + грт) (тп = 0,1,2,...).
Значения постоянной распространения к определяются из равенства
где (Зтп - n-й корень уравнения J'm(0mn) = 0. Наименьший корень /?ц и и
1,8; ему соответствуют граничная частота и>о " 1,8^ и граничная длина
волны Ао = " 3,5а.
WQ 1
Для волн магнитного типа граничная частота ниже, чем для волн
электрического типа. Если частота волны лежит в пределах woai > и> > >
И)магн, то эта волна может быть только типа Нц.
Электромагнитные колебания в ограниченных телах 449
515. Для .Е-волны:
LX -
для Я-волна типа (ш, п):
сак'
_ Г,
ojak L
-.2. .2
,_______m'o;'________]
' 0 0/0 0 Оч 1
- т2) где С' = Re С-
516. Волновой вектор к и частота ш волн в волноводе связаны соотношением
4=# + ^
с
где х - постоянная, зависящая от типа волны и размеров поперечного
сечения волновода. По обычным формулам имеем
U> г.
Vu, = Т =
к ^-(А/Ао)2'
vg = ^ = Wl-(\/\0)2,
где Ао - граничная длина волны.
Из полученных формул видно, что всегда vv > с, vg < с, причем v^-Vg = с2.
Этот результат справедлив для волновода, внутри которого вакуум
(диэлектрические свойства воздуха для рассматриваемой области явлений
практически не отличаются от свойств вакуума).
Если волновод заполнен диэлектриком, причем дисперсией еиц можно
пренебречь, все вышеприведенные формулы остаются справедливыми при
замене с на v = -?=. Поэтому в таком волноводе = -?= - 1 -
v/ёД v у/ёЦ у/\ - (А/Ао)2
может стать меньше с, волна "замедляется" (см. задачу 522).
517. Hz = ^Я?о [el(*lX+fez) + el(-*lX+fez)]e-"''t. Направления
распространения двух плоских волн, на которые разлагается волна Ню,
составляют с осью волновода угол в (рис. 91), который определяется
условием
450
Глава IX
ж
фазовая плоскость I перемещается со скоростью с в направлении,
составляющем угол в с осью z; однако скорость ее перемещения вдоль оси
волновода будет больше:
с
с
z
v = ------л = / ---- = V,
COS0 у/1 - (А/А0)2 '
Рис. 91
Это и есть фазовая скорость волны в волноводе.
Групповая скорость совпадает со скоростью движения энергии. Но в плоской
волне в вакууме энергия движется со скоростью с в направлении
распространения волны. Каждая плоская волна, входящая в состав
рассматриваемой волны Ню, будет испытывать многократные отражения от
стенок волновода, и ее "путь" будет зигзагообразным. Результирующая
скорость вдоль оси волновода будет
В случае одиночного идеально проводящего провода поля во всем
пространстве вне провода описываются формулами (1); полный поток энергии
через плоскость z = const бесконечно велик: 7 -> оо при 6 -> оо. Поэтому
такая волна не может поддерживаться источником конечной мощности, и,
следовательно, рассматриваемый случай не имеет физического смысла.
519. Волны электрического типа:
