Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
(12.29).
6) Поскольку в точке максимума зоны тензор массы представляет собой отрицательно определенную величину, эффективная масса т* будет положительной. Соотношение между объемами в ^-пространстве и плотностями частиц обсуждалось на стр. 48. Полуклассическая теория проводимости в металлах
253
в подынтегральном выражении появится дополнительный множитель е~ш. В результате имеем
и«) = Re и He-latL (13.32)
где
j (со) = а (со).E (со), о» = 2 о«»> (ю) (13.33)
п
и
(• dk № (k) (-3//3»)-=,, (к)
о'п> (со) = е2 \ -% °в . 13.34
v ' J 4лЗ [1/T„(«g„(k))] —ко '
Следовательно, как и в случае свободных электронов (формула (1.29)], высокочастотная проводимость равна статической проводимости, поделенной на 1 — гсот, но теперь мы должны допустить возможность различия времен релаксации для разных зон *).
Выражение (13.34) позволяет осуществить простую непосредственную проверку справедливости полуклассической модели в пределе сот 1, в котором оно принимает вид
^ N'---W I ш ^ W v» W (¦-1). (13-35)
что эквивалентно выражению (как показано на примере статического случая)
»№) = - 4 j Sr f (gn (k)) ± ^r. (13.36)
Формула (13.36) определяет (в линейном по электрическому полю приближении) ток, создаваемый полем в отсутствие столкновений, так как можно считать, что предел больших сот соответствует пределу т —>¦ оо при фиксированной частоте со. Однако в отсутствие столкновений нетрудно точно 2) кванто-вомеханически рассчитать изменение блоховских волновых функций, вызываемое электрическим полем в линейном порядке по полю. Зная эти волновыэ функции, можно вычислить среднее значение оператора тока в линейном порядке по полю. В результате мы получим полное квантовомеханическое выражение для о (со), которое не основывается на приближениях полукласси-ческой модели. Такой расчет является стандартной задачей на применение первого порядка теории возмущений, зависящих от времени. Из-за его громоздкости мы приведем здесь лишь конечный результат 3):
<v H= (k>> Ж
ft4 -у ( (ик[Уц| п'к)(п'к I VvI пк) (пк | Vv [ п'к) (п'к | Vix | пк) \ 1 то7ч
Zj \ йа> + вп(к)-вп.(к) + -to + en(k)-«„. (к) )У К^-^П
пф'п
В общем случае это выражение сильно отличается от выражения (13.36). Если, однако, энергия йсо мала по сравнению с шириной запрещенной зоны для всех занятых уровней, то в знаменателях выражения (13.37) можно пренебречь частотами, и величина в квадратных скобках переходит в выражение для д2Шп(к)дк11дкч, полученное в приложении Д (см. (Д.11)]. Тогда форму-
1) Для металлов можно считать величину т„ (%) внутри каждой зоны равной хп (%РУ, ошибка при атом пренебрежимо мала.
2) В приближении независимых электронов.
3) Здесь используются те же обозначения матричных элементов оператора градиента,
что и в приложении Д. :254
Глава 12
ла (13.37) сводится к полуклассическому результату (13.36); это подтверждает высказанное в гл. 12 утверждение о том, что полуклассический анализ справедлив при условии Tl(s) <C^gap tCM. (12.10)] х).
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
В гл. 1 и 2 мы описывали плотность потока тепла аналогично плотности электрического тока, учитывая лишь, что в этом случае переносится тепловая энергия, а не электрический заряд. Теперь мы можем дать более точное определение потока тепла.
Рассмотрим малую заданную область твердого тела, в которой температура фактически постоянна. Скорость, с которой в данной области изменяется количество тепла, равна скорости изменения энтропии электронов в ней, умноженной на температуру (dQ = TdS). Поэтому г) плотность потока тепла равна произведению температуры на плотность потока энтропии js:
j« = Tjs. (13.38)
Поскольку объем области постоянен, изменение заключенной в ней энтропии связано с изменением внутренней энергии и числа электронов термодинамическим тождеством
TdS = dU — ndN. (13.39)
Для плотностей потоков оно дает
ТУ = j» _ цГ, (13.40)
где плотности потока энергии и числа электронов определяются выражениями 3)
{ft-sJ-^f*®}'.«».«. <1М1>
х) Пока величина ftw остается достаточно малой, чтобы знаменатели в (13.37) не обращались в нуль, более общий результат дает лишь количественные поправки к полуклассическому приближению, которые можно, например, представить в виде ряда по степеням ftco/^gap Однако, когда энергия ha столь велика, что знаменатели обращаются в нуль (т. е. когда энергии фотона достаточно, чтобы вызвать межзонный переход), полуклассический результат становится несправедливым и качественно. Действительно, при подробном выводе выражения (13.37) предполагается, что когда обращение знаменателя в нуль приводит к особенности, это выражение следует понимать в смысле предела при стремлении w в комплексной плоскости сверху к действительной оси. (Когда знаменатели не обращаются в нуль, результат не зависит от бесконечно малой мнимой части, которую может иметь со.) Это приводит к появлению действительной части у проводимости и обусловливает механизм поглощения в отсутствие столкновений, который не может быть получен в полуклассической модели. Упомянутая дополнительная действительная часть важна для понимания свойств металлов на оптических частотах (см. гл. 15), когда межзонные переходы играют определяющую роль.
