Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
f = в(»-и)/*2,т+1 .
но в присутствии внешних полей и (или) градиентов температуры она имеет иной вид.
В настоящей главе будет получено замкнутое выражение для функции g. При его выводе мы а) предполагаем, что между столкновениями движение электронов определяется полуклассическими уравнениями (12.6), и б) пользуемся простым методом рассмотрения столкновений (известным как «прибли жение времени релаксации»), который вкладывает точное содержание в качественные утверждения о характере столкновений, сделанные в предыдущих главах. Затем неравновесная функция распределения используется для расчета электрических токов и потоков тепла в ряде интересных случаев, не исследованных в гл. 12. :246
Глава 12
ПРИБЛИЖЕНИЕ ВРЕМЕНИ РЕЛАКСАЦИИ
Мы сохраняем основные черты нашего общего представления о столкновениях, описанного в гл. 1, но теперь сформулируем их более точно в виде совокупности предположений, называемых «приближением времени релаксации». Мы продолжаем считать, что за бесконечно малый интервал времени dt вероятность столкновения электрона равна dtjт, но учитываем теперь возможность того, что частота столкновений зависит от пространственных координат, волнового вектора и номера зоны электрона: т = т„ (г, к). Столкновения приближают систему электронов к локальному термодинамическому равновесию; это отражено в следующих дополнительных предположениях.
1. Распределение электронов через некоторое время после столкновений не зависит от вида неравновесной функции распределения gn (г, k, t) непосредственно перед столкновениями.
2. Если электроны в области вблизи точки г имеют равновесное распределение, отвечающее локальной температуре T (г)
о 1
gn (г, k, t) = gn(r, к)= (Ю_ц(г))/АЯТ(Г) , , . (13.2)
е п а -)-1
то столкновения не изменят формы функции распределения.
Предположение 1 означает, что всякая информация о неравновесном состоянии, которую несут электроны, полностью теряется в результате столкновений. Подобное предположение почти наверняка преувеличивает эффективность столкновений в восстановлении равновесия (см. гл. 16).
Предположение 2 есть наиболее простой способ учета того, что именно благодаря столкновениям поддерживается термодинамическое равновесие, соответствующее локальной температуре, требуемой условиями эксперимента 2).
Два этих предположения полностью определяют вид функции распределения dgn (г, k, t), описывающей те электроны, которые испытали столкновение вблизи точки г в промежтуок времени от t до t -j- dt. В соответствии с первым предположением dg не может зависеть от конкретного вида полной неравновесной функции распределения gn (г, k, t). Поэтому достаточно найти dg при каком-то одном виде функции g. Проще всего это сделать, когда g описывается выражением (13.2) для локального равновесия, поскольку, согласно второму предположению, столкновения не меняют вида функции g. Мы знаем, однако, что за время dt доля dt/xn (г, к) всех электронов из зоны п с волновым вектором к и координатой г испытывает столкновения, которые изменяют их номер зоны и (или) волновой вектор. Если, несмотря на это, выражение (13.2) должно оставаться неизменным, то распределение тех электронов, которые в результате столкновения приходят в зон^ п с волновым вектором к за тот же интервал
1) Единственный рассматриваемый нами случай, когда локально-равновесное распределение отлично от однородного равновесного распределения (13.1) (с постоянными T и ц),— это измерение теплопроводности, при котором путем соответствующего подключения источников и (или) стоков тепла мы устанавливаем изменяющуюся в пространстве температуру Г (г). В этом случае, поскольку плотность электронов п должна оставаться постоянной ( для сохранения электрической нейтральности), химический потенциал также должен зависеть от пространственных координат, чтобы выполнялось условие ц. (г) = ^0q (л, T (г)). Вообще говоря, локальная температура и химический потенциал могут зависеть не только от координат, но и от времени. См., например, задачу 4 в конце этой главы и задачу 1, п. «б» в гл. 16.
2) Более фундаментальная теория должна доказывать, что столкновения играют такую роль, а не предполагать это. Полуклассическая теория проводимости в металлах 247
времени, должно полностью компенсировать потери. Поэтому
dgn (г, k, 0= Тя* t) g°n(г, к). (13.3)
Уравнение (13.3) есть точная математическая формулировка приближения времени релаксации ').
С помощью этих предположений можно рассчитать неравновесную функцию распределения в присутствии внешних полей и градиентов температуры 2).
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕРАВНОВЕСНОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим группу электронов в п-й зоне, которые находятся в момент времени t в элементе объема drdk около точки г, к. Число электронов в этой группе выражается через функцию распределения:
dN = gn(T,k,t)^~. (13.4)
Мы можем найти это число, группируя электроны по времени их последнего столкновения. Пусть г„ (t'), к„ (?') — решение полуклассических уравнений движения для п-й зоны, которое при t' = t проходит через точку г, к:
