Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
* = 0.] Полуклассическая теория проводимости в металлах
261
ражением
°-1йчГт(*')7й' (13'71)
где S — площадь поверхности Ферми в этой зоне, ас — скорость электрона, усредненная по поверхности Ферми:
S=-|-jdS|v(k)|. (13.72)
[В качестве частного случая это выражение доказывает, что пустые или заполненные эоны не несут тока — в них нет поверхности Ферми. Мы можем также по-новому подойти к утверждению, что почти пустые (мало электронов) и почти заполненные (мало дырок) гоны обладают низкой проводимостью, связав это с тем, что расположенные в них части поверхности Ферми очень малы.]
Убедитесь, что в пределе свободных электронов выражение (13.71) сводится к результату Друде.
3. Покажите, что выражения (13.45) и (13.50) — (13.53), описывающие электрический ток и поток тепла, остаются справедливыми в присутствии постоянного магнитною поля, если в выражении (13.48) для а(%) учесть наличие магнитного поля, заменив второе v(k) на величину v(k), определенную формулой (13.70).
4. Реакция электронов проводимости иа электрическое поле
E (г, i)-Re [Е (q, ш) (13.73)
зависящее от координат и времени, требует особого рассмотрения. Подобное поле в общей случае индуцирует в пространстве переменную плотность заряда
р (г, 0= —«б» (г,«)
Ьп (г, t) = Re [6п (q, (о) в«1"-®0]. (13.74)
Поскольку столкновения не меняют числа электронов, локально-равновесное распределение, фигурирующее в приближении времени релаксации (13.3), должно отвечать реально имеющейся мгновенной локальной плотности п (г, <)• Следовательно, даже при постоянной температуре следует считать, что локальный химический потенциал имеет вид
ц(г, *) = р + бц (г, t),
бц(г, f) = Re[ofi(q,<u) ві(Ч"-®0]. (13.75)
здесь величина 6fx (q, (о) выбрана таким образом, чтобы (в линейном по E порядке) выполнялось условие1)
дпт (и)
6»(q,(o)=—6^(q,(o). (13.76)
а) Покажите, что поэтому при постоянной температуре вместо выражения (13.22) мы имеем2)
g (г, к, *)=»/(« (к))+ Re [6g (q, к, (о) е1 (ч•'-»«)],
fig (q, со) = (-4г) (б|Х (<Ь Ю)/Т)-'У (к)'Е (q'm) (13 77)
°SV4' ' ^ дЧ ) (1/Т) —і [ш —q-v(k)] • (ІО.ІІ)
б) Построив с помощью функции распределения (13.77) вызываемую таким полем плотность тока и заряда, покажите, что выбор бр. (q, со) в форме (13.75) позволяет обеспечить выполнение уравнения непрерывности (локальное сохранение заряда):
q.j(q, (O) = Op (q,<0) (y.j + JL=o) . (13.78)
1JЗдесь ne(j (|і) — равновесное значение плотности электронов при значении химического потенциала, равном р.. — Прим. перев.
2)См. примечание 1 на стр. 249. :262
Глава 12
в) Покажите, что при неизменной плотности заряда ток описывается выражением ] (г, O = Re [a (q, со) E (q, со) е1 Сч-г-и«)],
а (Ч, а,) = ^ j -5- ( - М. ) (1/т)_;. (vv_q v(k)] (13.79)
Покажите, что достаточное условие справедливости выражений (13.79) состоит в том, что электрическое поле E должно быть перпендикулярно плоскости зеркальной симметрии, в которой лежит волновой вектор q.
5. Рассмотрим металл, по которому одновременно протекают электрический ток и поток тепла. Скорость производства тепла в единице объема связана с локальными плотностями энергии и числа электронов уравнением [ср. (13.39)]
-5--ТГ(13-80>
где — локальный химический потенциал. Используя уравнение непрерывности
(13.81)
а также то, что полная скорость изменения локальной плотности энергии равна скорости привнесения энергии в данный объем электронами плюс скорость совершения работы электрическим полем:
-^- = -VJS+E-j, (13.82)
покажите, что уравнение (13.80) можно записать в виде
= (13.83)
где j4 — поток тепла [определяемый выражениями (13.38) и (13.40)], а $ = E + (Не) уц. Предполагая кубическую симметрию, в силу которой тензоры Li' диагональны, покажите, что в условиях постоянства тока . j = 0) и постоянства градиента температуры (\2Т = 0) справедливо уравнение
(13.84)
где р — сопротивление, К — теплопроводность, Q — дифференциальная термо-э.д.с. Таким образом, измеряя изменение количества тепла, выделяющегося в объеме, при обращении направления тока при заданном градиенте температуры (эффект Томсона), можно определить производную дифференциальной термо-э.д.с. по температуре и, следовательно, рассчитать значение Q при более высоких температурах, если известно ее низкотемпературное значение.
Сравните численный коэффициент при VT • je полученным при приближенном рассмотрении в задаче 3 гл. 1.
6. Средняя скорость V [см. (13.70)], входящая в выражение (13.69) для проводимости в постоянном магнитном поле, принимает более простой вид в пределе сильных полей.
а) Покажите, что для замкнутой орбиты проекция вектора v на плоскость, перпендикулярную Н, есть
7^--THT Hx[k-<k)]± + 0 (^7), (13.85)
где (к) — временное среднее значение волнового вектора, взятое по орбите:
<k) = ^kdt. (13.86)
б) Покажите, что для открытой орбиты предельная средняя скорость V в сильных полях равна средней скорости движения по орбите (и, следовательно, имеет то же направление, что и орбита). Полуклассическая теория проводимости в металлах
