Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
dg°(t') _ dgO дЧп Л», д??_дТ_ і?п ^n m 1Я\
dt' д%п д\а ' dt' "г" дТ дт dt' "т" дц дт dt' ' ^O. Ю)
Воспользовавшись полуклассическими уравнениями движения (12.6), чтобы исключить drjdt' и dkjdt' из выражения (13.18), мы можем записать выражение (13.17) в форме
t
g(t) = g°+ j Л'Р(г,«')[(—(-еE-V^-(i^H) VT)], (13.19)
— 00
где / — фермиевская функция (13.1) (взятая при локальных температуре и химическом потенциале) и все величины в квадратных скобках 2) зависят от t' через их аргументы гп (Ґ) и kn (t').
УПРОЩЕНИЕ НЕРАВНОВЕСНОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ
Уравнение (13.19) дает полуклассическую функцию распределения в приближении времени релаксации при очень широких условиях и поэтому применимо к большому числу задач. Во многих случаях, однако, учет конкретной ситуации позволяет провести дальнейшие упрощения.
1. Слабые электрические поля и градиенты температуры. Как уже отмечалось в гл. 1, электрические поля и градиенты температуры в металлах почти всегда достаточно слабы, чтобы расчет вызываемых ими
1J Если бы нас интересовали случаи, когда локальные температура и химический потенциал явно зависят от времени, то к (13.18) следовало бы добавить члены с BTIdt и d\>.ldt. Соответствующий пример дан в задаче 4.
2) Заметим, что магнитное поле H не входит явно в выражение (13.19), поскольку сила Лоренца перпендикулярна скорости v. [(Конечно, оно проявляется в нем косвенно, через зависимость от времени величин Tn (t') и kn (i').] :250
Глава 12
токов можно было проводить в линейном приближениих). Поскольку второе слагаемое в выражении (13.19) уже представляет собой линейную функцию 2) от E и VT, зависимость подынтегрального выражения от t' можно вычислять при нулевом электрическом поле и постоянной температуре Т.
2. Пространственно-однородные электромагнитные поля и градиенты температуры и не зависящие от пространственных координат времена релаксации.3) В этом случае все подынтегральное выражение в (13.19) не зависит от rn (t'). Зависимость от t' (помимо возможной явной зависимости E и Г от времени) возникает только за счет величины kn (t'), которая будет функцией времени в присутствии магнитного поля. Поскольку фермиевская функция / зависит от к только через энергию Шп (к), сохраняющуюся в магнитном поле, вся зависимость от t' в подынтегральном выражении содержится в величинах P (t, t'), v(kn(f')), а также в E и Г (если они зависят от времени).
3. Время релаксации, зависящее от энергии. Если т зависит от волнового вектора только через энергию Щп (к), то, поскольку энергия Шп (к) сохраняется в магнитном поле, т (t') не будет зависеть от t' и выражение (13.15) принимает вид
P^(t,t') = е-«-«')/тп(к). (13.20)
Для анизотропных систем время релаксации т может зависеть от к не только через Щп (к). Однако, когда характер рассеяния электронов действительно существенно зависит от волнового вектора, справедливость приближения времени релаксации становится в целом сомнительной (см. гл. 16). Поэтому большинство расчетов в приближении времени релаксации проводится с использованием этого упрощающего предположения; часто даже считают время т постоянной величиной, не зависящей от энергии. Поскольку функция распределения (13.19) содержит множитель 3//3§, который фактически отличен от нуля только внутри интервала О (kBT) вокруг энергии Ферми, в металлах важна зависимость т (S) лишь в малой окрестности % F.
При выполнении этих условий мы можем записать (13.19) в виде
* (k, O = S0 (к)+ j (-^.) v(k(0).[-*E(0-
— OO
-VtI (О - vr (/')], (13.21)
1J Линеаризацию можно обосновать исходя непосредственно из выражения (13.19). Прежде всего, вероятность того, что за данный интервал времени до момента t электрон не испытает столкновений, становится пренебрежимо малой, когда длительность этого интервала гораздо больше т. Следовательно, только времена t порядка т дают существенный вклад в интеграл в выражении (13.19). Однако (см. стр. 227) за такое время электрическое поле изменяет вектор к электрона на величину, которая пренебрежимо мала по сравнению с размерами зоны Бриллюэна. Отсюда непосредственно следует, что зависимость от E всех членов в (13.19) очень слаба. Аналогично можно обосновать линеаризацию по градиенту температуры, если изменение температуры на длине свободного пробега пренебрежимо мало по сравнению с температурой металла в целом. Однако линеаризацию по магнитному полю проводить нельзя, поскольку в металлах вполне можно создать такие сильные магнитные поля, что за время релаксации электрон будет проходить расстояние в ^-пространстве, сравнимое с размерами зоны Бриллюэна.
2) Химический потенциал меняется в пространстве лишь за счет изменения температуры (см. примечание 1 на стр. 246), поэтому Vfx имеет тот же порядок, что и VT.
3) Иногда желательно считать, что т зависит от пространственных координат, например, чтобы учесть неоднородное распределение примесей, эффекты рассеяния вблизи поверхности и т. н Полуклассическая теория проводимости в металлах
251
