Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
2) Предполагается, что энтропия в этой области изменяется лишь за счет того, что ее вносят или уносят электроны. Энтропия может также производиться внутри области в результате столкновений. Однако можно показать, что производство энтропии при наличии внешнего электрического поля и градиента температуры есть эффект второго порядка (типичный пример •— джоулев нагрев или «потери I2R») и им можно пренебречь в линейной теории.
3) Заметим, что по форме они совпадают с выражением для плотности электрического тока, но теперь каждый электрон «несет» не свой заряд (—е), а энергию %п (к) или свое «число» (т. е. единицу). Заметим также, что поток числа электронов равен электрическому току, деле-ному на заряд: j = —ein. (Не следует путать здесь верхний индекс п, указывающий, что fn есть плотность потока числа электронов, с номером зоны п.) Полуклассическая теория проводимости в металлах
255
Подставляя (13.41) в (13.40), находим плотность потока тепла 1)
J9=S J CSn (k) — I*] v„ (к) ^n (к). (13.42)
п
Входящая в формулу (13.42) функция распределения g дается выражением (13.21), вычисляемым для H = Опри наличии постоянного электрического поля и градиента температуры 2)
g(k) = g°(k) + t(f(k)) ( —|L)v(k)[-e%+ ( VDj, (13.43)
где
S = E + -^. (13.44)
Исходя из этой функции распределения, можно построить плотность электрического тока (13.23) и плотность потока тепла (13.42):
j = L11S + L12 ( VT),
І« = L11S+ Le (-VT*), v ' '
где матрицы Llj выражаются 3) через величины Я(а):
Я(а) =J ( —щ-) т (Ш (к)) V (k) V (к) (Ш (к) - ц)" (13.46)
посредством соотношений
L11 = S'0',
L2I = TL12= —j й(1>, (13.47)
І _ 1 р<Р.)
Полученные выражения приобретают более простой вид, если определить величину 4)
Тогда
а (%) = е2т (%) j б (Ш - Ш (к)) V (к) V (к). (13.48)
?(«> = j dt (--2L} (g-n)«a(g). (13.49)
Для вычисления величины (13.49) в металлах можно воспользоваться тем, что производная (—dftdt) пренебрежимо мала всюду, кроме малой окрестно-
*) Обычно теплопроводность измеряют в отсутствие электрического тока, поэтому часто можно считать поток тепла равным потоку энергии (как мы и поступали в гл. 1). Однако если в проводнике одновременно существуют поток тепла и поток электрического заряда (как в рассматриваемом ниже эффекте Пельтье), то необходимо пользоваться формулой (13.42)
2) Объяснение того, почему в общем случае градиент температуры вызывает электрическое поле, можно найти на стр. 38—39.
3) Чтобы по возможности упростить обозначения, последующие результаты приведены для случая, когда все носители лежат в одной зоне и номер этой зоны не указывается. В случае многих зон каждую из матриц L следует заменить на суммы таких матриц по всем частично заполненным зонам. Это обобщение не сказывается на справедливости закона Видемана — Франца, но может сделать более сложной структуру выражения для термо-э. д. с.
4) В металлах (—df/d%) = 6(? —%F) с точностью до членов порядка (kBT/%F)2,
поэтому использованное обозначение должно напоминать, что статическая проводимость
металла (13.25) есть a (tSp). :256
Глава 12
сти шириной О (квТ) вблизи точки ц « SF. Поскольку подынтегральные выражения в 3(1> и S(2> содержат множители, которые обращаются в нуль при S = ц, для их вычисления следует учитывать первую температурную поправку в разложении Зоммерфельда Проделав это, с точностью до членов порядка (kBTI%F)2 получаем
L" = Ct(Sf) = ст, (13.50)
L2i = т Li2 = _ (квТ)*о\ (13.51)
L22 = J^L 0j (13.52)
где
"' = 15-0^1*'-**- (13'53>
Формулы (13.45) и (13.50) — (13.53) служат основными результатами теории электронных термоэлектрических эффектов. Они остаются в силе и в том случае, когда имеется несколько частично заполненных зон — необходимо лишь считать оц (S) суммой выражений (13.48), взятой по всем частично заполненным зонам
Чтобы получить отсюда выражение для теплопроводности, заметим, что оно связывав! между собой поток тепла и градиент температуры в условиях, когда отсутствует электрический ток (как обсуждалось в гл. 1). Первое из соотношений (13.45) показывает, что при равенстве нулю электрического тока справедливо соотношение
g=-(L11)-1L1M-v^)- (13.54)
Подставляя (13.54) во второе из соотношзний (13.45), находим
j* = К (—VT1), (13.55)
где тензор теплопроводности К определяется выражением
K = L22-L21(L11)-1L12. (13.56)
Из выражений (13.50) — (13.52) с учетом того, что о' обычно имеет порядок ст/Sp, следует, что в металлах первое слагаемое в (13.56) превышает второе примерно в (Шр/квТУ раз. Поэтому
К = L22+ A(AbTVSf)2. (13.57)
Именно этот результат мы получили бы, если бы пренебрегли с самого начала термоэлектрическим полем [т. е. слагаемым L1S1 в (13.45)]. Подчеркнем, что он справедлив только для вырожденной фермиевской статистики. В полупроводниках выражение (13.57) плохо аппроксимирует точный результат (13.56).
Вычисляя величину (13.57) с использованием формулы (13.52), получаем
K = Та. (13.58)
Это — не что иное, как закон Видемана — Франца [см. (2.93)] с гораздо более широкой областью применимости. Для произвольной зонной структуры каждая компонента тензора теплопроводности пропорциональна соответствующей
