Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
P=(SPnx)"1. (12.72)
б) Покажите, что, если имеется только две зоны, то коэффициент Холла и магнетосопротивление описываются выражениями
Rхр| + R,р? + RхRг (Rх + R2) Н* 9
(РІ + Р2)2+(ЯІ + Я2)2#2 ' -<o)
n PiP2 (Pi + P2) + (PiДІ +Pjjflpff2 7/v
Р (РІ + Р2)2 + (ЯІ + Д2)2Я2 •
Обратите внимание на то, что здесь возникла явная зависимость от напряженности магнит ного поля, даже если Rt и р$ от него не зависят (как для свободных электронов).
1J Для справедливости формулы (12.71) в общем случае не требуется, чтобы в каждой из зон зависимость g (к) была похожа на соответствующую зависимость для свободных электронов, необходимо лишь, чтобы магнитное поле было направлено вдоль оси достаточно высокой симметрии. :244 Глава 12
в) Выведите непосредственно из выражения (12.73) выражение (12.55) для коэффициента Холла в сильных полях, когда обе зоны имеют замкнутые орбиты; обсудите предельное поведение в сильных полях для случая reeff = 0 (т. е. для скомпенсированного двухзонного металла). Покажите, что в этом случае магнетосопротивление возрастает как H2 с ростом поля.
5. Поскольку поправка к результату (12.51) в пределе сильных полей пропорциональна Vff2, в общем случае выражение для тока, обусловленного в электронной зоной с замкнутыми орбитами, имеет вид
J=-TT (EXH) + «г<Ч.Е, (12.75)
где
^lim #2(г<1> < оо. (12.76)
Покажите, что магнетосопротивление в сильном поле описывается выражением
P = T-TS- Iim H2O^, (12.77)
(пес)2 H-* со vy v '
где ось у перпендикулярна магнитному полю и направлению тока. Заметим, что магнетосопротивление насыщается [это следует из (12.76)].
6. Справедливость полуклассического результата k (t) = к (O) — еШ/h для электрона в постоянном поле в значительной мере подтверждается следующей теоремой (которая также служит полезным исходным пунктом в строгой теории электрического пробоя).
Рассмотрим зависящее от времени уравнение Шредингера для электрона в периодическом потенциале U (г) и постоянном электрическом поле:
Ш -?"= [—fir V*+r/(r) +еВт] ?=^. (12.78)
Пусть в момент t = О функция я): (г, 0) является линейной комбинацией блоховских функций, которые все имеют одинаковый волновой вектор к. Тогда в момент времени t функция l|) (г, t) будет линейной комбинацией1) блоховских функций, имеющих волновой вектор k — eEt/h.
Докажите эту теорему; при этом воспользуйтесь тем обстоятельством, что формальным решением уравнения Шредингера является функция
ф (г, *) = е-1Я''Ч (г,0), (12.79)
и выразите предполагаемое свойство начального уровня и доказываемое свойство конечного уровня, пспользуя поведение волновой функции при трансляциях на векторы решетки Бравэ.
7. а) Какие уровни окружает орбита на фиг. 12.7 — занятые или незанятые?
б) Какие уровни] окружают замкнутые орбиты на фиг. 12.10 — занятые или незанятые?
ЛИТЕРАТУРА
1. Zak J., Phys. Rev., 168, 686 (1968).
2. Chambers R. G., Ргос. Roy. Soc., 89, 695 (1966).
3. Brillouin L., Wave Propagation in Periodic Structures, Dover, New York, 1953. (Имеется перевод франц. издания: Бриллюэн Л. Распространение волн в периодических структурах. — M.: ИЛ, 1959.)
4*.JIифиіиц И. M., Азбелъ М. Я., Каганов М. И. Электронная теория металлов.— M.: Наука, 1971.
1) Вопреки этой теореме полуклассическая теория электронов в постоянном электрическом поле не точна — коэффициенты в суперпозиции блоховских функций в общем случае зависят от времени; с этим связана возможность межзонных переходов. ГЛАВА 11
ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРОВОДИМОСТИ В МЕТАЛЛАХ
ПРИБЛИЖЕНИЕ ВРЕМЕНИ РЕЛАКСАЦИИ ОБЩИЙ ВИД НЕРАВНОВЕСНОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ ПРОВОДИМОСТЬ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Рассмотрение эффектов электронной проводимости в гл. 1, 2 и 12 носило довольно качественный характер и часто было упрощенным в силу конкретных свойств того или иного исследуемого случая. В настоящей главе мы описываем более систематический метод расчета проводимости, который можно применять для произвольного полуклассического движения в присутствии зависящих от времени и пространственных координат внешних полей и градиентов температуры. Физические предположения, на которых базируется наш анализ, не являются ни более строгими, ни более изощренными, чем в гл. 12,— мы лишь даем им более точную формулировку. Однако предлагаемый метод расчета токов с использованием этих фундаментальных физических предположений носит теперь более общий и систематический характер. Кроме того, его структура такова, что позволяет легко проводить сравнение с более строгими теориями (гл. 16).
В этой главе при описании проводимости мы будем пользоваться неравновесной функцией распределения gn (г, k, t), определяемой таким образом, что величина gn (г, k, t) drdklAn? равна числу электронов в п-й зоне в момент t в элементе объема полуклассического фазового пространства drdk с центром в точке г, k. В равновесии g сводится к фермиевской функции
gn(r, к, *) = /(?» (к)),
