Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ашкрофт Н. -> "Физика твердого тела. Том 1" -> 136

Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.

Ашкрофт Н. , Мермин Н. Физика твердого тела. Том 1 — М.: Мир, 1979. — 458 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikatverdogotela1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 203 >> Следующая


г„ (*) = г, к„ (*) = к. (13.5)

Предположим, что в момент t электрон находился в элементе объема drdk около точки г, к, а его последнее столкновение до момента t произошло в интервале времени от t' до t' + dt'. Тогда в результате столкновения электрон должен оказаться в элементе объема фазового пространства dr'dk' с центром в точке г„ (?')> k„ (t'), поскольку после момента t' его движение полностью определяется уравнениями движения, которые должны привести его в момент t в точку г, к. Согласно приближению времени релаксации (13.3), полное число электронов, приходящих после столкновения в точке Tn (?'), к„ (Ґ) в элемент объема dr'dk' за время от t' до t' + dt', равно

Мы воспользовались здесь теоремой Лиувилля 3) и произвели замену

dr'dk' = drdk. (13.7)

Из этих электронов лишь относительное число Pn (г, k, t; t') (рассчитываемое ниже) действительно «проживет» в течение интервала времени от t' до t, не испытав при этом никаких дополнительных столкновений. Поэтому, чтобы найти dN, нужно умножить (13.6) на эту вероятность и просуммировать по всевозможным временам t' последнего столкновения перед моментом t:

j дг _ dr dk Г dt1 gl (Г„ (t'), kn (t')) Pn (г, k, f, V) о я

T71 (rn (О, к п(П)-• (13-8)

1J В гл. 16 мы вновь критически рассмотрим приближение времени релаксации и сравним его с более строгими теориями столкновений.

2) Обратите внимание на то, насколько различную роль играют поля и градиенты температуры. Первые определяют движение электронов в промежутке между столкновениями, а вторые — форму функции распределения электронов после столкновения (13.3).

3) Эта теорема утверждает, что полуклассические уравнения движения сохраняют

объемы в гА-пространстве. Она доказана в приложении 3. :248

Глава 12

Сравнивая (13.8) с выражением (13.4), получаем

J /. L Л _ Г dt'g°n (ГЯ (П, kn (t')) Pn (Г, к, V, П

gn (Г' к' t} - J -T71 (гп (О, кп(0)-• (13'9)

-OO

Выражение (13.9) выглядит довольно громоздко, поскольку мы указываем в явном виде, что функция распределения относится к п-й зоне и вычисляется в точке г, к, а также что зависимость подынтегрального выражения от Z' определяется значениями g° и Tn в точке r„ (Z'), kn (Z') на полуклассической траектории, проходящей в момент Z через точку г, к. Чтобы не затемнять смысл проводимых ниже простых преобразований формулы (13.9), будем пользоваться пока сокращенными обозначениями, в которых номер зоны п, точка г, к и траектория г„, к„ считаются заданными и не указываются явно. Тогда

gn(r,k,t)-+g(t), й(М0.М0)-*°(0. J1310V

ММО. М0)-^(0, pn (г, k, t; t')-*-P(t, о ' }

и выражение (13.9) можно записать в виде 1J

t

і (0 = ^ ^rj 8° (ґ) P (t, Ґ).

-OO

(13.11)

Необходимо отметить простую структуру формулы (13.11). Электроны в данном элементе фазового объема в момент t сгруппированы по времени их последнего столкновения. Число электронов, испытавших последнее столкновение в интервале от t' до t' -f dt', равно произведению двух величин:

1. Полного числа электронов, которые, испытав столкновение в интервале времени от t' до t' -f dt', движутся таким образом, что, если им не помешают последующие столкновения, то к моменту t они достигнут заданного элемента объема фазового пространства. Это число определяется приближением времени релаксации (13.3).

2. Относительного числа P (Z, О тех из указанных в п. 1 электронов, которые «доживут» от Ґ до t, не испытав новых столкновений.

Остается рассчитать P (t, Z'), т. е. относительное число электронов в зоне п, которые движутся по траектории, проходящей в момент t через г, к, не испытывая столкновений в промежуток времени от Ґ до t. Относительное число электронов, «доживших» от t' до t, меньше относительного числа электронов, «доживших» от t' -f dt' до t, отличаясь от последнего множителем [1 — dt'/г (Z')], который учитывает вероятность столкновения электрона за время между Z' и t' -f dt'. Поэтому

P (Z, О = P (t, t' + dt') [і -. (13.12)

В пределе dt' 0, отсюда получаем дифференциальное уравнение

-W-p^t') = ejHFT- (13-13)

При граничном условии

P (Z, Z) = 1 (13.14) решение уравнения (13.13) имеет вид

P(Z,Z') = exp(-j-|-). (13.15)

V v'

1J Этот реаультат и метод его получения связаны с именем Чамберса [1]. Полуклассическая теория проводимости в металлах

249

Воспользовавшись уравнением (13.13), функцию распределения (13.11) можно записать в виде

<

g(t)= j dt' g0 (t') P (t, t'). (13.16)

-OO

Удобно проинтегрировать выражение (13.16) по частям, используя граничное условие (13.14) и физическое условие, заключающееся в том, что никакой электрон не может «прожить» бесконечно долго без столкновений: P (t, —оо) = 0. В результате получаем

t

Є (0 = (*) — J dt'P(t, t')-±-g*(t').

-OO

(13.17)

Таким образом, мы представили функцию распределения в виде суммы локально-равновесного распределения и поправочного члена.

Чтобы найти производную по времени от функции g0, заметим [см. (13.10) и (13.2)], что она зависит от времени только через %п (kn (t')), T (гп (t')) и р, (rn (*')), поэтому *)
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed