Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
где по-прежнему опущен номер зоны п, но опять указана в явном виде зависимость от к и t 1).
В заключение главы приведем примеры применения формулы (13.21) к ряду интересных случаев.
СТАТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
Если H = 0, то k (t') в выражении (13.21) есть просто к и для постоянных во времени E и VT1 интегрирование проводится элементарно. При постоянной в пространстве температуре получаем
S (к) = (к) — eE.v (к) т (Ш (к)) (—(13.22)
Число электронов на единицу объема в элементе объема dk равно g (k) MAn3, поэтому вклад одной зоны в плотность тока равен 2)
j=-el iS- v^ (13-23)
Такой вклад в плотность тока дает каждая частично заполненная зона; полная плотность тока равна сумме вкладов от всех зон. С учетом (13.22) и (13.23) ее можно записать в виде j = оЕ, где тензор проводимости о представляет собой сумму выражений для отдельных зон 3):
о=2о<п>, (13.24)
п
^ = e^T„(^(k))v„(k)v„(k)(-|-)w, (13.25)
Отметим следующие важные свойства проводимости:
1. Анизотропия. В теории свободных электронов ток j параллелен Е, т. е. тензор о диагонален: ст^=ст6^- Для произвольной кристаллической структуры ток j не обязательно параллелен E и проводимость представляет собой тензор. В кристалле с кубической симметрией, однако, ток j остается параллельным Е, так как, если оси х, у и z направить по кубическим осям, то ахх = = ауу = Ctzz. Кроме того, если бы поле в направлении х вызвало ток в направлении у, то, воспользовавшись кубической симметрией, можно было бы показать, что такой же ток должен возникнуть и в противоположном направлении —у. Единственная непротиворечивая возможность — равенство этого тока нулю, поэтому компонента аху должна быть равна нулю (а с нею в силу симметрии и все другие недиагональные компоненты). Следовательно, в кристаллах с кубической симметрией CTtlv = CTO^v.
2. Инертность заполненных зон. Производная от фермиевской функции фактически отлична от нуля, лишь когда if лежит в интервале шириной квТ вблизи %F. Поэтому в соответствии с общим рассмотрением, проведенным на стр. 224—227, заполненные зоны не дают вклада в проводимость.
3. Эквивалентность описаний в терминах электронов и дырок в металлах. В металле при T = O проводимость (13.25) можно
Величина к (Ґ) есть решение полуклассического уравнения движения для зоны п при постоянном магнитном поле Н, т. е. k (i') = к'при t' = t.
2) Здесь и далее в этой главе считается, что интегрирование по к проводится по одной элементарной ячейке, если специально не указана иная область.
3) Поскольку в равновесии ток отсутствует, основное слагаемое g0 в функции распределения не дает вклада в выражение (13.23). Мы пользуемся тензорными обозначениями, в которых А = be означает A?v= Ъ cv. :252
Глава 12
рассчитать *) с точностью до членов порядка (к ВТ/Ш F)2. Тогда (—of/дЩ — = б {% — Ш р) тз. время релаксации можно взять при Sf = g р и вынести из-под знака интеграла. Кроме того, поскольку ")
- W (-Ж )*-*„<» = ж / 00). (13-26>
мы можем проделать интегрирование по частям; в результате получаем 3) o = e4(gF)j4-g^v(k)/(?(k)) = e 2T(gF) j ^М-Чк). (13.27)
(По заполн. уровням)
Поскольку M"1 (к) есть производная от периодической функции, интеграл от нее по полной элементарной ячейке должен обращаться в нуль 4). Следовательно, можно записать (13.27) в иной форме:
о = еЧфр) j ^(_M-t(k)). (13.28)
(По неэаполн, уровням)
Сравнивая эти два выражения, мы видим, что вклад в ток можно связать и с незанятыми уровнями, если изменить знак тензора эффективной массы. Такой результат был получен уже из проведенного нами исследования «дырок» на стр. 228—232; мы повторили его, чтобы подчеркнуть, что он возникает и при более формальном анализе.
4. Переход к результату для свободных электронов. Если MjIv = (1 Im*) 6Mv и не зависит от к для всех занятых уровней в зоне, то выражение (13.27) переходит в результат Друде (1.6):
(13.29)
куда входит эффективная масса т*. Если M|Iv = —(1 Im*) Sjiv и не зависит от к для всех незанятых уровней 6), то выражение (13.28) принимает вид
^v = ^ponv, (13.30)
где nh — число незанятых уровней в единице объема. Таким образом, проводимость для этой зоны описывается выражением Друде, в котором т нужно заменить эффективной массой т* и плотность электронов — плотностью дырок.
ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
Если электрическое поле не постоянно, а меняется со временем по закону
E(Z) = Re [Е(ш)г^], (13.31)
то выражение для проводимости с использованием формулы (13.21) выводится так же, как и в статическом случае; отличие заключается лишь в том, что
1J См. приложение В.
2) Мы вновь не указываем явно номер зоны. Приводимые ниже формулы дают проводимость твердого тела, у которого имеется лишь одна зона с носителями тока. Если есть несколько таких зон, то, чтобы найти полную проводимость, необходимо просуммировать по п.
3) См. приложение И.
4) Это следует из тождества (И.1) приложения И; если принять одну из периодических функций равной единице. Тензор эффективной массы M"1 (к) определяется выражением
