Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
24,3(1)
) В единицах 10-6К_1. Для некубичсских кристаллов по отдельности указаны коэффициенты расширения в направлении оси наивысшей симметрии и перпендикулярно ей. Данные взяты из книги Пирсона [4].
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ РЕШЕТКИ. ОБЩИЙ ПОДХОД
Как уже отмечалось в гл. 22 и 23, тепловая энергия может содержаться в колебательных нормальных модах кристалла. Эти моды представляют собой упругие волны, поэтому соответствующий волновой пакет из нормальных мод может обусловливать распространение тепловой энергии по решетке ионов, подобное распространению импульса по натянутой упругой струне, которую дернули на одном конце. При низких температурах критическое значение имеет тот факт, что разрешенные энергии нормальных мод квантованы, поэтому гораздо удобнее описывать подобную передачу энергии с помощью представления о фононах. В фононной картине для описания передачи энергии считают, что фонон локализован в некоторой области пространства, которая мала по сравнению с макроскопическими размерами кристалла, но велика по сравнению с расстояниями между ионами. Поскольку отдельной нормальной моде с определенным волновым вектором к соответствует движение ионов во всем кристалле, подобное локализованное возмущение кристалла не может быть описано как
х) Разумеется, электроны будут давать значительный вклад в модуль всестороннего сжатия (почти не зависящий от температуры). См. т. 1, стр. 52—53. 2) См. статьи Уайта [2] и Андреса [3].
124
Глава 25
состояние с одним фононом с волновым вектором к. Однако, образуя суперпозицию таких состояний кристалла, в каждом из которых возбуждена всего одна нормальная мода с волновым вектором из некоторой малой окрестности Ак вокруг к, можно построить локализованные фононоподобные возмущения. Обоснование перехода от волнового представления к представлению о частицах основывается на свойствах волновых пакетов. Не вдаваясь в детали математической теории волновых пакетов (сравнительно мало способствующие пониманию физики дела), подчеркнем аналогию со случаем электронов х) и позволим себе ту же вольность с фононами: пожертвовав некоторой точностью в задании волнового вектора фонона, мы можем построить фононные волновые функции 2), локализованные с точностью до Ах да 1/АА".
В идеально гармоническом кристалле фононные состояния являются стационарными. Поэтому если установилось какое-то распределение фононов, отвечающее ненулевому потоку тепла (например, из-за избытка фононов с направленными в одну сторону групповыми скоростями), то это распределение не будет меняться с течением времени, так что поток тепла никогда не затухнет. Идеально гармонический кристалл имел бы бесконечную теплопроводность 3).
Теплопроводность реальных диэлектриков 4) не бесконечна по ряду обстоятельств.
1. Неизбежные несовершенства решетки, примеси, изотопические неоднородности и т. п. (гл. 30), всегда присутствующие в реальных кристаллах, играют роль рассеивающих центров для фононов и служат препятствиями тепловому потоку.
2. Даже в совершенном чистом кристалле фононы обязательно сталкиваются с поверхностью образца, что также ограничивает тепловой поток.
3. Даже в совершенном чистом бесконечном кристалле стационарные состояния гармонического гамильтониана представляют собой всего лишь приближенные стационарные состояния полного ангармонического гамильтониана, поэтому состояние с определенной совокупностью фононных чисел заполнения не будет оставаться неизменным с течением времени.
В настоящем обсуждении нас интересует в основном последняя из перечисленных причин, поскольку это единственный внутренне присущий всем телам механизм теплового сопротивления, от которого в принципе невозможно избавиться, переходя к более совершенным кристаллам и увеличивая их размеры.
Обычно при расчете эффекта ангармоничности принято рассматривать ангармонические поправки к гармоническому гамильтониану Н0 как возмуще-
х) См. т. 1, стр. 63 и 219. Ситуация здесь совершенно аналогична той, с которой мы уже встречались при переходе от квантового описания электронов к классической картине локализованных частиц. Перенос энергии тепловым потоком можно рассматривать совершенно так же, как и перенос заряда электрическим током. Носителями теперь служат фононы, а величина, переносимая каждым фононом, есть его энергия Йша (к).
2) Обратите внимание, что если мы хотим приписать фонону волновой вектор с обычными свойствами, то неопределенность волнового вектора должна быть малой по сравнению с размерами зоны Бриллюэна. Так как размеры зоны имеют порядок обратной постоянной решетки, величина Ах должна быть большой по сравнению с межатомными расстояниями и, как легко догадаться, фононы не могут быть локализованы на микроскопическом промежутке.
s) Здесь мы имеем полную аналогию с тем фактом, что в идеально периодическом потенциале (без дефектов или колебаний решетки) электропроводность, обусловленная движением электронов, была бы бесконечно большой (см. т. 1, стр. 147).
4) Мы говорим о диэлектриках, хотя наши замечания применимы и к ионному вкладу в теплопроводность металлов. Последний, однако, обычно маскируется электронным вкладом, который на один или два порядка величины больше.
