Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
При рассмотрении вопроса о том, будет ли для фононного газа существовать аналог звука, следует учитывать, что газ фононов отличается от обычного газа в двух важных отношениях.
1. В столкновениях не сохраняется число фононов.
2. Квазиимпульс не сохраняется точно, хотя он и начинает сохраняться со все большей точностью при понижении температуры и «вымерзании» процессов переброса.
Первое замечание не вызывает серьезных трудностей. Отсутствие одного из законов сохранения отражает тот факт, что равновесная функция распределения фононов
ьсо, да/ЬдТ • (25.42)
полностью определяется температурой, тогда как равновесная функция распределения в идеальном газе зависит и от температуры, и от плотности. Поскольку число переменных, необходимое для задания локального равновесия, в газе
Ангармонические эффекты в кристаллах
135
фононов на единицу меньше, чем в классическом газе, для поддержания таког равновесия необходимо на единицу меньшее число законов сохранения.
Что касается закона сохранения импульса, то он совершенно необходим для распространения звука, а это означает, что частота 1/тц процессов переброса, не сохраняющих квазиимпульс, должна быть малой по сравнению с частотой колебаний:
— <Гсо. (25.43)
Подобное условие не имеет аналога в теории звука в -обычном газе. Кроме него по-прежнему должно выполняться условие (25.41), где теперь под временем релаксации следует понимать время т №, характеризующее'нормальные столкновения, при которых сохраняется (квази)импульс:
(25.44)
Это условие отражает тот факт, что локальное термодинамическое равновесие должно устанавливаться за время, малое по сравнению с периодом колебаний. Объединяя условия (25.43) и (25.44), мы видим, что частота должна лежать внутри «окна»:
Следовательно, аналог звука в газе фононов существует лишь при очень низких емпературах, когда частота нормальных столкновений значительно превосходит частоту столкновений с перебросами; при этом частота такого звука лежит между частотами столкновений указанных двух типов. Подобное явление, называемое вторым звуком, можно рассматривать как колебания локальной плотности числа фононов (аналогично тому, как обычный звук есть колебания локальной плотности молекул) или же как колебания локальной плотности энергии, что, возможно, более уместно в случае фононов (так как их основное свойство состоит в том, что они переносят энергию). Поскольку локально-равновесные плотность числа фононов в кристалле и их энергия однозначно определяются локальной температурой, второй звук должен проявляться как волновое колебание температуры. Условия для его наблюдения наиболее благоприятны в твердых телах с очень высокой изотопической чистотой (так как любое отклонение от идеальной решетки Бравэ, включая случайное присутствие ионов с иной изотопической массой, приводит к столкновениям, в которых не сохраняется квазиимпульс), а также с достаточно сильными ангармоническими членами (поскольку для поддержания локального термодинамического равновесия требуется высокая частота нормальных столкновений фононов). В силу этих соображений наиболее подходящими для наблюдения второго звука оказываются твердый гелий и фторид натрия. Экспериментально установлено, что в обоих кристаллах распространение теплоьих импульсов действительно происходит со скоростью, предсказываемой волновым уравнением для второго звука, алне осуществляется путем диффузии, что имело бы место при обычной теплопроводности х). Предсказание и обнаружение второго звука стало одним из^крупных успехов теории колебаний решетки.
*) О наблюдении второго звука в твердом Не* сообщала Аккерман и др. [10], а в твердом Не3 — Аккерман и Овертон [11]. Возникновение второго звука в наблюдалось в работе Макнелли и др. [12]. Обзор работ в этой области дан в статье Аккермана и Гайера[13].
136
Глава 25
ЗАДАЧИ
1. Неустойчивость в теорищ учитывающей лишь кубическую ангармоничность
Покажите, что если оставить только кубические поправки к выражению для потенциальной энергии в гармоническом приближении, то потенциальную энергию можно сделать отрицательной и сколь угодно большой по абсолютной величине, подобрав подходящие смещения ионов и (II). (Указание. Возьмите произвольную совокупность смещений и рассмотрите, как скажется на полной потенциальной энергии умножение всех этих смещений на одно и то же число с одновременным обращением их знака.)
2. Уравнение состояния гармонического кристалла
Выведите формулу (25.7) для давления в гармоническом приближении, подставляя в общее термодинамическое соотношение (25.5) выражение (25.6) для внутренней энергии и в гармоническом приближении. (Указание. Произведите замену переменной интегрирования Т' на х = Йа>„ (к)/7" и возьмите интеграл по частям, обращая должное внимание на проинтегрированные члены.)
3. Параметры Грюнайзена в одномерном случае
Рассмотрим цепочку из N атомов, взаимодействующих посредством парного потенциала ф (г), длина которой считается неизменной и равной Ь — (т. е. величина равновесной постоянной решетки фиксирована и равна а).
