Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Ангармонические эффекты в кристаллах
125
ния, которые вызывают переходы от одного гармонического собственного ¦состояния к другому, т. е. приводят к рождению, уничтожению или рассеянию фононов. Таким образом, ангармоническая часть ионного взаимодействия играет в теории переноса тепла в диэлектриках такую же роль, какую играют примеси или электрон-фононное взаимодействие в теории переноса заряда в металлах.
Если ангармонические члены малы х) по сравнению с гармонической частью гамильтониана, то связанные с ними эффекты могут быть рассчитаны по теории
Фиг. 25.2. Процессы, отвечающие в низшем порядке теории возмущений ангармоническим
членам третьего и четвертого порядка.
а — кубический процесс: один фонон распадается на два.
-б — кубический процесс: два фонона сливаются в один.
в — процесс четвертого порядка: один фонон распадается на три.
г — процесс четвертого порядка: два фонона превращаются в два других (фонон-фононное рассеяние). д — процесс четвертого порядка: три фонона сливаются в один.
возмущений; именно так обычно и поступают. Можно показать (приложение П), что в низшем порядке теории возмущений ангармонический член степени п по ионным смещениям и вызывает переходы между двумя собственными состояниями гармонического гамильтониана, у которых отличны в точности п фонон-ных чисел заполнения. Таким образом, кубический ангармонический член может вызвать переходы, которые можно охарактеризовать следующим образом:
1. Фононные числа заполнения начального и конечного состояния совпадают, за исключением следующих изменений: п^3 —>-Пкя — 1> Пк'з' -*-пъ'8' + 1 и Як-«" —»-Ик'8» + 1. Очевидно, такой переход можно рассматривать как событие, в котором фонон 5-й ветви с волновым вектором к распадается на два фонона с волновыми векторами к' и к" и номерами ветвей в' и в".
2. Фононные числа заполнения начального и конечного состояния совпадают, за исключением следующих изменений: п^я -+пъ3 — 1, п^-в' -*-Пк.'в' — 1 и пъ"8" —>-гак"«" + 1. Подобный переход можно считать событием, в котором два фонона с волновыми векторами кик' и номерами ветвей хих' сливаются, образуя один фонон ветви в" с волновым вектором к".
Часто такие процессы изображают схематически (фиг. 25.2).
х) Некоторым указанием на малость этих членов служит то обстоятельство, что при рассеянии нейтронов на кристалле хорошо различимы однофононные максимумы (см. гл. 24).
126
Глава 25
Два других процесса, обусловленных кубическими членами, которые также можно себе представить (исчезновение трех фононов или рождение трех новых фононов), запрещены законом сохранения энергии. Поскольку полная энергия трех фононов должна быть положительной, энергия терялась бы при уничтожении трех фононов и возникала бы «из ничего» при рождении трех фононов.
Сходным образом члены четвертого порядка могут давать переходы, допускающие простое описание как распад одного фонона на три, слияние трех в один и замена двух фононов одного типа на два других (см. фиг. 25.2).
Ангармонические члены более высокого порядка также приводят к переходам, но в предположении о малых колебаниях наиболее важными должны быть члены третьего и четвертого порядка. Часто рассматривают лишь переходы, вызываемые кубическими членами. Однако, как мы уже отмечали, законы сохранения во многих случаях налагают очень жесткие ограничения на процессы, отвечающие кубическим членам. В результате, хотя члены четвертого порядка и меньше кубических, число разрешенных кубических процессов оказывается столь малым, что процессы обоих типов могут давать сравнимую частоту переходов.
При последующем обсуждении мы не пользуемся никакими конкретными характеристиками ангармонических членов, за исключением тех их свойств, которые выражаются законами сохранения энергии и квазиимпульса х). Если фононные числа заполнения были равны пка до перехода и стали равны п^е после него, то из закона сохранения энергии вытекает требование
2 Йсо8 (к)гек8 = 2 й(о8(к)п'кз, (25.26)
а закон сохранения квазиимпульса дает
2кл*1-2к»к. + К, (25.27)
где К — произвольный вектор обратной решетки.
Подобные переходы обычно называют «столкновениями», чтобы подчеркнуть аналогию с электронными явлениями переноса. Отметим, однако, что в случае фононов к «столкновениям» относят также процессы, в которых один фонон распадается на несколько, несколько фононов сливаются в один и т. п., т. е. процессы, допускаемые теорией с несохранением суммарного числа фононов. Если справедливо предположение о малости колебаний и ангармонические члены более высокого порядка несущественны, то в каждом отдельном «столкновении» принимает участие лишь небольшое число фононов. Поэтому перенос энергии фононами можно рассматривать с помощью уравнения Больцмана (гл. 16) со столкновительными членами, описывающими те процессы, в которых фононы могут рассеиваться со значительной вероятностью. В более элементарной качественной теории можно воспользоваться даже единым фононным временем релаксации т, определяющим вероятность того, что за единицу времени фонон испытает столкновение одного из возможных типов 2).
