Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
х) См. соотношение (Н.18). Подробный анализ закона сохранения квазшшпульса дан в приложении Н. См. также стр. 69.
2) Эта величина совершенно аналогична электронному времени релаксации, введенному при обсуждении модели Друде. Последующие рассуждения во многом напоминают рассуждения, проведенные при рассмотрении электронов; различие заключается лишь в том, что фононы не имеют заряда (отсутствует термоэлектрическое поле), плотность числа фононов зависит от температуры и число фононов может не сохраняться, в особенности на концах образца.
Ангармонические эффекты в кристаллах
127
теплопроводность решетки. элементарная кинетическая теория
Мы не станем подробно излагать здесь теорию теплопроводности решетки, основанную на уравнении Больцмана для фононов, а обсудим вместо этого важнейшие физические особенности задачи. Для этого воспользуемся элементарным приближением времени релаксации, аналогичным тому, которое применялось при обсуждении электронных явлений переноса в металлах в гл. 1 и 2.
Для простоты мы по-прежнему рассматриваем лишь моноатомные решетки Бравэ, у которых фононный спектр содержит лишь акустические ветви. Посколь-
Высокап температура
Низкая \темперагпура
tcos0
dT _^
dx
Фиг. 25.3. Перенос тепла фононами при наличии постоянного градиента температуры вдоль
оси х.
Поток тепла в точке х„ обусловливается фононами, испытавшими последнее столкновение в среднем на расстоянии ? = сх от х0. Фононы, скорость которых в точке х„ составляет угол S с осью х, испытали последнее столкновение в точке Р, расположенной на расстоянии / cos в выше по градиенту температуры, и поэтому переносимая ими плотность энергии равна и (х0 — ? cos в), а компонента скорости вдоль оси х равна с cos 6. Полный поток тепла пропорционален произведению этих величин, усредненному по
телесному углу.
ку нас интересуют главным образом качественные особенности теплопроводности, а не точные результаты, мы будем также пользоваться, когда это удобно, дебаевским приближением, считая, что закон дисперсии для фононов всех трех акустических ветвей имеет вид со = ск.
Предположим, что вдоль оси х в кристалле диэлектрика приложен небольшой градиент температуры (фиг. 25.3). Как и в модели Друде (см. т. 1, стр. 21), мы считаем, что локальное термодинамическое равновесие поддерживается просто благодаря столкновениям. Фононы, испытавшие столкновение в точке х, вносят в неравновесную плотность энергии вклад, пропорциональный равновесной плотности энергии при температуре Т (х), т. е. и (х) = ыеч 17' (х)]. Каждый фонон в данной точке дает вклад в плотность теплового потока в направлении х, равный произведению ^-компоненты его скорости на его вклад в плотность энергии 1). Однако средний вклад фонона в плотность энергии зависит от положения точки его последнего столкновения. Поэтому существует корреляция между тем, откуда пришел фонон (т. е. направлением его скорости), и его вкладом в среднюю плотность энергии; в результате суммарный поток тепла оказывается отличным от нуля.
г) Более подробно эта процедура была описана при совершенно аналогичном выводе электронного вклада в теплопроводность металлов (см. т. 1, стр. 35—37).
128
Глава 25
Для вычисления потока тепла необходимо усреднить произведение плотности энергии на ж-компоненту скорости по всем точкам, где фонон мог испытать последнее столкновение. Предполагая в духе модели Друде, что это столкновение происходило на расстоянии -б = ст от точки х (в которой мы вычисляем поток тепла) в направлении, составляющем угол 6 с осью х (см. фиг. 25.3), находим
i = (схи (я0 ~ ^ cos е))е =
я 1
= jccos6w(;r0— / cos 8) ^ sin 8 = -y j p, d\icu (x0—(25.28) о -1
В линейном порядке по градиенту температуры тогда имеем
' —"5-т1^*-4-"*(-Е-). <25'29>
-1
Ж ЛИ
'¦=*(-§-)» <25-30>
где теплопроводность х определяется выражением
к = -|- с0с/ = -|- свс2т. (25.31)
Здесь с0 — удельная теплоемкость фононов. Это одна из величин, определяющих зависимость теплопроводности к от температуры. Другой такой величиной 1) служит фононная частота столкновений т-1. Мы уже анализировали зависимость с„ (Т) в гл. 23; что же касается зависимости т-1 от температуры, то этот вопрос оказался весьма тонким и сложным — потребовалось много лет, чтобы в нем была достигнута полная ясность. Характер возникающих задач зависит от того, рассматриваем ли мы высокотемпературный (Т ^> 9 л) или низкотемпературный (Т < в в) режим.
Случай 1 (Т ^> 9 в). При высоких температурах полное число фононов в кристалле пропорционально Т, поскольку выражение для равновесных тепловых чисел заполнения приближенно можно представить в виде
Мк)^^^^. (25.32)
Вероятность рассеяния отдельного фонона, вносящего вклад в тепловой поток' тем выше, чем больше число других фононов, на которых он может рассеяться' поэтому время релаксации должно падать с повышением температуры. Кроме того, поскольку при высоких температурах удельная теплоемкость подчиняется закону Дюлонга и Пти и не зависит от температуры, следует ожидать, что и теплопроводность будет падать' с повышением температуры в пределе высоких температур.
