Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Это подтверждается экспериментом. Теплопроводность обычно спадает по закону
' (25.33)
*) В модели Дебая скорость фононов с не зависит от температуры. Даже в более точной модели, где с2 заменяется некоторым средним значением, это не дает заметного вклада в зависимость теплопроводности к от температуры в отличие от классического газа, для которого с2~ квТ.
Ангармонические эффекты в кристаллах
129
где значение х лежит между 1 и 2. Точная теория степенного закона довольно сложна, поскольку приходится учитывать конкуренцию между процессами рассеяния, отвечающими ангармоническим членам третьего и четвертого порядка г). Это как раз тот случай, когда процессы, отвечающие кубическим членам, столь жестко ограничены законами сохранения, что вклад от них становится сравнимым с вкладом от членов четвертого порядка; последние члены слабее, но зато разрешено гораздо большее число таких процессов.
Случай 2. (Т <С в д). При любой температуре Т в достаточном числе присутствуют лишь фононы, энергии которых сравнимы с квТ или меньше этой величины. В частности, при Т <^ 0 в фононы будут иметь частоты со„ (к) <С <^ со д и волновые векторы к <^ к в. Помня об этом, рассмотрим какое-либо столкновение фононов, обусловленное ангармоническими членами третьего или четвертого порядка. Поскольку в нем участвует лишь небольшое число фононов, их суммарная энергия и суммарный квазиимпульс должны быть малыми по сравнению с Нсо в и к в. Так как энергия в столкновении сохраняется, суммарная энергия фононов после столкновения по-прежнему должна быть малой по сравнению с Йсо в. Это возможно лишь в том случае, если волновой вектор каждого фонона, а следовательно, и их суммарный волновой вектор малы по сравнению с к в. Однако начальный и конечный суммарные волновые векторы могут быть малы по сравнению с вектором к в (который сравним по величине с векторами обратной решетки) только в том случае, если аддитивный вектор К обратной решетки, входящий в закон сохранения квазиимпульса, равен нулю. Итак, при очень низких температурах с достаточной вероятностью могут происходить только те столкновения, при которых суммарный квазиимпульс сохраняется строго, а не с точностью до аддитивного произвольного вектора обратной решетки.
Этот очень важный вывод иногда формулируют как утверждение о различии между нормальными процессами и процессами переброса. Нормальный процесс есть такое фононное столкновение, в котором суммарные начальный и конечный квазиимпульсы строго равны друг другу; в процессе переброса они отличаются на ненулевой вектор обратной решетки. Очевидно, подобное различие зависит от того, какую примитивную ячейку мы выбрали для задания волнового вектора фонона (фиг. 25.4). В качестве такой ячейки почти всегда берут первую зону Бриллюэна 2). Иногда влияние низких температур на сохранение квазиимпульса выражают вкратце утверждением, что при достаточно низких температурах единственными процессами рассеяния, происходящими с заметной частотой, являются нормальные процессы, поскольку процессы переброса «вымер-эают».
Вымерзание процессов переброса имеет критическое значение для низкотемпературной теплопроводности. Если имеют место лишь нормальные процессы, то должен сохраняться суммарный волновой вектор:
2 2 к«Дк). (25.34)
г 1-я зона Бриллюэна
х) См., например, статью Херринга [5] и цитированные в ней работы.
2) Чтобы представление о вымерзании процессов переброса давало однозначное описание уменьшения при низких температурах частоты тех столкновений, в которых к суммарному квазиимпульсу добавляется вектор обратной реш"етки, выбранная примитивная ячейка должна удовлетворять определенным условиям. Именно, она должна содержать столь большую окрестность точки к = 0, чтобы в нее попали все волновые векторы к, для которых значение Ь.ша (к) велико по сравнению с квТ. Первая зона Бриллюэна, очевидно, обладает этим свойством.
130
Глава 25
Однако в термодинамически равновесном состоянии со средними числами заполнения^ фононов
л (25.35)
суммарный волновой вектор фононов (25.34) равен нулю, так как сов (—к) = = со, (к). Поэтому, если в начальном состоянии распределение фононов имело отличный от нуля суммарный импульс, то нормальные столкновения не могут
• • •
к + к*
Ко
• • •
а
• • •
• к+к'=к"/
• • •
Фиг. 25.4. Процесс переброса (показан для двумерной квадратной решетки).
Черными кружками изображены точки обратной решетки, область в форме квадрата на фиг. а представляет собой первую вону Бриллюэна, а параллелограмм на фяг. б — другую примитивную ячейку. Закон сохранения квазиимпульса разрешает двум фононам с волновыми векторами кик' слиться в один фонов с волновым вектором к*. Если все волновые векторы фононов помещены-, в первой зоне Бриллюэна, то вектор к' отличается от вектора к -+- к' на не равный нулю вектор К0 обратной решетки: такой процесс представляет собой процесс переброса. Если, однако, указать все волновые векторы в примитивной ячейке, изображенной на фиг. б, то к* •» к + к' и процесс оказывается нормальным. После задания примитивной ячейки, в которой следует указывать волновые векторы фононов, деление на процессы переброса и нормальные процессы становится одноаначным, поскольку в такой ячейке каждый фононный уровень имеет вполне определенный волновой вектор, и суммы волновых векторов в начальном и конечном состояниях определены однозначно. Мы имеем нормальный процесс, если эти две суммы совпадают, и процесс переброса, если они отличаются на не равный нулю вектор обратной решетки. Однако, переходя к другой примитивной ячейке,'можно; сделать часть процессов переброса нормальными, и наоборот. (Обратите внимание, что векторы к и к' на а и б одни и те же.)
