Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим, например, взаимодействие волны с частотой Е1Н и волновым вектором ц = р/Й с какой-либо нормальной модой кристалла, имеющей частоту со и волновой вектор к. Мы предполагаем, что возбуждена только эта нормальная мода, т. е. рассматриваем взаимодействие волны лишь с одним из фононов. Будем также пока пренебрегать микроскопической структурой кристалла, рассматривая интересующую нас нормальную моду как волновое возмущение в сплошной среде. Если бы такое возмущение не двигалось, для падающего излучения оно представляло бы собой периодическое изменение плотности, действующее подобно дифракционной решетке (фиг. 24.10), и тогда рассеянная волна определялась бы законом Брэгга. Однако возмущение не стационарно, а движется с фазовой скоростью фонона, которая направлена вдоль к и имеет величину а>1к:
у = -^-к. (24.22)
Эту трудность можно обойти, описывая дифракцию в системе отсчета, которая движется с фазовой скоростью V. В такой системе отсчета возмущение неподвижно и можно пользоваться условием Брэгга. Волновые векторы (как волн колебаний решетки, так и падающей и рассеянной волн) не меняются при
(24.21)
112
Глава 24
Фиг. 24.10. Рассеяние нейтрона фононом в системе отсчета, в которой фазовая скорость фонона равна нулю.
Фонону соответствует неподвижная дифракционная решетка, т. е. чередующиеся области с высокой и низкой плотностью ионов. Условие Брэгга пЛ = 2d sin 9 (т — целое) может быть записано в виде
2ят Ч
in ,
' -г- 8ІП ft
тй — 2g sin 8,
или
тй — (q» и» q)tk.
Поскольку брэгговское отражение зеркально (угол падения равен углу отражения), а абсолютная величина q' равна абсолютной величине q, отсюда следует, что вектор q' — q должен быть параллелен к и поэтому
q* — q = mk.
изменении системы отсчета, поскольку она не влияет ни на расстояние между плоскостями равной фазы, ни на их ориентацию г). Однако частоты испытывают доплеровский сдвиг:
со = со — к-у,
Е_ ft
= -r-q-v,
(24.23)
Е' Е' ,
— = —-q -v.
Поскольку при брэгговском отражении от неподвижной решетки частота падающей волны остается неизменной, энергия Е' должна быть равна Е. Тогда из закона преобразования (24.23) следует, что в исходной системе отсчета частота рассеянной волны должна испытывать сдвиг:
—=- + (q'-q)-v
(24.24)
Изменение волнового вектора при брэгговском отражении имеет вид
ц = ч + тпк, (24.25)
*) Точнее, изменение волнового вектора является релятивистским эффектом, которым мы пренебрегаем, поскольку скорость V мала по сравнению со скоростью света с. Формулы доплеровского сдвига (24.23) также записаны в нерелятивистской форме.
Экспериментальное определение фононного спектра
113
где целое число т есть порядок брэгговского отражения (как показано на фиг. 24.10) *). Данное соотношение выполняется в любой системе отсчета, поскольку волновые векторы инвариантны относительно изменения системы отсчета.
Подставляя (24.25) в (24.24), находим, что сдвиг частоты в исходной системе отсчета дается выражением
^- = -^ + тк.х. (24.26)
Теперь подставим в (24.26) явное выражение (24.22) для фазовой скорости V; это дает
Е' = Е + пЛа. (24.27)
Соотношения (24.25) и (24.27) показывают, что брэгговское отражение т-то порядка в движущейся системе отсчета соответствует процессу, который мы описали бы в лабораторной системе отсчета как поглощение или испускание ш фононов данного типа. Многофононные процессы с участием нескольких нормальных мод будут, очевидно, отвечать последовательным брэгговским отражениям от соответствующих движущихся дифракционных решеток.
Может показаться, что в условии (24.25) для волновых векторов отсутствует произвольный добавочный вектор обратной решетки, входящий в закон сохранения квазиимпульса (24.6). В действительности, однако, он неявно содержится и в условии (24.25) — необходимо учесть только, что кристалл представляет собой не сплошную среду, а дискретную систему. Лишь в сплошной среде можно однозначно поставить в соответствие каждой нормальной моде некоторый волновой вектор к. В дискретной решетке волновой вектор нормальной моды определен лишь с точностью до аддитивного произвольного вектора обратной решетки (см. стр. 67).
Таким образом, с волновой точки зрения закон сохранения энергии указывает просто на наличие доплеровского сдвига для волны, испытавшей отражение от движущейся дифракционной решетки; закон сохранения квазиимпульса есть условие Брэгга для такой решетки, причем в наличии аддитивного вектора обратной решетки проявляется свобода в выборе ориентации дифракционной решетки, что обусловлено дискретной периодической структурой кристалла, для рассмотрения которого решетка была введена.
ЗАДАЧИ
1. а) Нарисуйте диаграммы, изображающие возможные двухфононные процессы, в которых падающий нейтрон имеет импульс р, а рассеянный — импульс р'. При расстановке индексов на диаграммах учтите законы сохранения.
б) Проделайте то же самое для трехфононных процессов.
2. а) Повторите метод графического решения, представленный на фиг. 24.6, для случая испускания фонона.
б) Покажите, что при энергии падающего нейтрона, равной нулю, решения отсутствуют.
