Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
ОБЩИЕ ЧЕРТЫ АНГАРМОНИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ
Стандартное описание ангармонических членов в принципе довольно просто; трудности возникают лишь из-за громоздких обозначений. Сохраняет силу предположение То малости колебаний, поэтому мы можем ограничиться лишь главными поправками к гармоническим членам в разложении энергии взаимодействия ионов С/ по степеням ионных смещений и. Следовательно, вместо (22.8) и (22.10) имеем
р^и^ + и^^ + и^, (25.1)
где [см. (22.10)] ангармонические поправочные члены записываются в виде
со
^апЬ= Е 4г 2 ^..-¦йй(К1 •¦¦ КпКб(К1) ••• Ид„(Кп). (25.2)
Здесь]
Я™-.-на (1*1 ••¦ Ю-д-и/ди^^) ... ди^(Яп)\и=0. (25.3)
В духе предположения о малости колебаний можно попытаться оставить в ?/апп только ведущие (кубические по и) члены; часто именно так и поступают. Существуют, однако, две причины, в силу которых наряду с кубическими членами необходимо сохранять члены четвертого порядка.
Ангармонические эффекты в кристаллах
117
1. Гамильтониан, в котором оставлены только ангармонические члены третьего порядка, оказывается неустойчивым: выбирая подходящим образом значения и, можно сделать потенциальную энергию сколь угодно большой по величине и отрицательной (см. задачу 1). Это означает, что кубический гамильтониан не имеет основного состояния Следовательно, взяв вместо полного гамильтониана выражение, оборванное на кубических ангармонических членах, мы заменили тем самым исходную хорошо определенную физическую задачу другой задачей, в которой присутствует эффектная, хотя и искусственно возникшая математическая патология. Тем не менее добавочные кубические члены часто рассматривают как малое возмущение, получая при этом вполне разумные физические результаты, несмотря на формальную абсурдность такой процедуры. Однако, если вы хотите иметь дело с хорошо определенной задачей, необходимо оставлять также члены четвертого порядка.
2. Аномальное поведение вкладов от кубических членов часто обусловлено не указанной выше причиной, а чрезвычайно жесткими ограничениями; налагаемыми законами сохранения на процессы, отвечающие этим членам. Когда это происходит, даже при справедливости предположения о малых колебаниях члены четвертого порядка могут стать сравнимыми с кубическими по важности.
При подробных расчетах почти никогда не сохраняют членов выше четвертого порядка, кроме случаев, когда ведется доказательство очень общих результатов или когда имеют дело с кристаллами (в особенности с твердым гелием), для которых справедливость предположения о малости колебаний весьма сомнительна. Более того, на практике часто предпочитают ограничиваться лишь кубическими ангармоническими членами, однако в таких случаях не следует забывать о возможности описанных выше ловушек.
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ И ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ КРИСТАЛЛА
Чтобы найти уравнение состояния, запишем давление в [виде Р = = —(дР/дУ)т, где г7 = и — ТБ — свободная энергия. Поскольку энтропия 5 и внутренняя энергия II связаны соотношением
г(3),-(ж),. <»•«>
мы можем выразить давление лишь через внутреннюю энергию 2):
т
р = -ш[и~т1т^4^и(т'' (25-5>
о
Если справедливо предположение о малых колебаниях, то внутренняя энергия диэлектрика должна с хорошей точностью определяться выражением (23.11), полученным в гармоническом приближении:
и=и«+4- 2 *«>. (к)+2 е,!::?11 • <25 -б>
г) См., например, статью Бейма [1].
2) Для определения постоянной интегрирования мы пользуемся тем, что при Т — О энтропия обращается в нуль (третий закон термодинамики).
118
Глава 25
Подставляя его в общее выражение (25.5), находим *)
р = ~от Оеч+2 т+ 2 [ -ьт(*«>. (к))] ^.щ,! •
(25.7)
Этот результат имеет очень простую структуру. Первое слагаемое (единственное, остающееся при Т = 0) представляет собой взятую с обратным знаком производную по объему от энергии основного состояния. При отличных от нуля температурах его следует дополнить взятой с обратным знаком производной по объему от фононных энергий, причем вклад от каждого фононного уровня берется с весом, равным его среднему числу заполнения.
Согласно формуле (25.7), в состоянии равновесия давление зависит от температуры лишь потому, что частоты нормальных мод зависят от равновесного объема кристалла. Если бы, однако, потенциальная энергия кристалла имела строго гармоническую форму [формулы (22.46) и (22.8)]
ие* + 4" 2 и (К) О (И - К') " (К')» (25.8)
НИ'
где силовые постоянные О не зависят от и (Я), то частоты нормальных мод вообще не могли бы зависеть от объема 2).
Чтобы увидеть это, заметим, что для определения зависимости частот нормальных мод от объема мы должны исследовать задачу о малых колебаниях не только для исходной решетки Бравэ, образуемой векторами К, но также и для увеличенной в размерах (или сжатой) решетки, образуемой векторами 3) К = (1 + е) К, объем которой отличается множителем (1 + е)3 от объема исходной решетки. Если потенциальная энергия строго описывается выражением (25.8), даже когда смещения и (И) не малы, новая задача о малых колебаниях легко сводится к старой. Действительно, координаты ионов г (Н) =
