Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
V дш8 (к) д (1п (Р5 (к))
?к8= ~^Ж)^Г =--аТДпТГ- ( >
Наконец, определим полный параметр Грюнайзена:
т = ^—^г- <25Л9>
2] ео« (к)
к, з
Он представляет собой взвешенное среднее величин в котором вклад каждой нормальной моды берется с весом, равным ее вкладу в удельную теплоемкость. Пользуясь данным определением, можно записать выражение (25.15) в весьма простой форме:
« = "6-. (25-20>
Коэффициент теплового расширения представлен в таком довольно необычном виде в связи с тем, что в простейших моделях зависимость частот нормальных мод от объема содержится в одинаковом для всех мод множителе и поэтому величины совпадают для всех нормальных мод. В этих условиях
г) См. задачу 4.
Ангармонические эффекты в кристаллах
12*
формула (25.15) непосредственно сводится к формуле (25.20) без всяких промежуточных определений. В модели Дебая, например, все частоты нормальных мод меняются линейно при изменении частоты обрезания со в, поэтому
д (1п сод)
7к5
д (1п V)
(25.21)
Модуль всестороннего сжатия, входящий в знаменатель выражения (25.20)г очень слабо зависит от температуры г), поэтому все теории, в которых пара-
Фиг. 25.1. Зависимость параметра Грюнайзена от величины Т/в0 для некоторых щелочно-
галоидных кристаллов. (Из работы [2].)
метры уъ3 считаются постоянными, предсказывают, что коэффициент теплового расширения должен иметь такую же зависимость от температуры, как и удельная теплоемкость. В частности, он должен приближаться к постоянному значению при температурах, больших по сравнению с 0С, и должен стремиться к нулю пропорционально Т3 при Т —»-0.
Такое поведение в предельных случаях сохраняется и в общей формуле (25.20). В реальном твердом теле величины ук5 не одинаковы для всех нормальных мод, поэтому параметр у зависит от температуры. Тем не менее из выражения (25.19) следует, что при Т —>-0 параметр у стремится к постоянному значению; он стремится также к (другому) предельному значению при температу-
1) Поскольку величина В допускает непосредственное измерение, можно учесть ее слабую зависимость от температуры.
122
Глава 25
pax, больших по сравнению с в D. Таким образом, даже в общем случае зависимость коэффициента теплового расширения от температуры в двух предельных случаях имеет вид
а ~ Т3, Т 0;
гг ^ ^ (25-22)
а ~ const, Г > в D.
Параметры Грюнайзена для ряда веществ и их изменение с температурой приведены в табл. 25.1 и показаны на фиг. 25.1.
Таблица 25.1
Коэффициенты линейного расширения3) и параметры Грюнайзена для некоторых щелочно-галоидных кристаллов
г, к LiF NaCl Nal KCl KBr KI ВЫ CsBr
0 а 0 0 0 0 0 0 0 0
У 1,70 0,90 1,04 0,32 0,29 0,28 -0,18 2,0
20 а 0,063 0,62 5,1 0,74 2,23 4,5 6,0 10,0
У 1,60 0,96 1,22 0,53 0,74 0,79 0,85 —
65 а 3,6 15,8 27,3 17,5 22,5 26,0 28,0 35,2
У 1,59 1,39 1,64 1,30 1,42 1,35 1,35 —
283 а 32,9 39,5 45,1 36,9 38,5 40,9 39,2 47,1
У 1,58 1,57 1,71 1,45 1,49 1,47 — 2,0
а) Значения коэффициента линейного расширения а даны в единицах 10_6К-1. Данные взяты из статьи Уайта [2].
ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ МЕТАЛЛОВ
Выше мы предполагали, что твердое тело имеет только ионные степени свободы, т. е. является диэлектриком. Для металла влияние дополнительных электронных степеней свободы можно учесть по формуле (25.12). И в этом случае модуль всестороннего сжатия очень слабо зависит от температуры и может быть заменен его значением при Т = 0. Для грубой оценки электронного вклада в (дР/дТ)у мы просто добавим к вкладу колебаний решетки соответствующую величину для газа свободных электронов. Поскольку уравнение состояния газа свободных электронов [см. (2.101)] имеет вид х)
Р = ТТ' <25-23)
отсюда следует, что
I дТ )у~ 3 с"'
а коэффициент теплового расширения описывается выражением
х) Формула (25.23) верна для электронного газа с квадратичным законом дисперсии, у которого плотность состояний пропорциональна $1/2. В общем случае столь простое соотношение между энергией и и давлением Р отсутствует.— Прим. ред
(25.24)
Ангармонические эффекты в кристаллах
123
Так как параметр Грюнайзена обычно имеет порядок единицы, электронный вклад в температурную зависимость коэффициента расширения существен лишь при температурах, при которых электронный вклад в удельную теплоемкость сравним с вкладом ионов, т. е. при температурах порядка 10К и ниже 1см. (23.30)] 1). Следовательно, наиболее важное предсказываемое различие между тепловым расширением металлов и диэлектриков заключается в том, что в металлах при очень низких температурах коэффициент а должен убывать как Т, а в диэлектриках — как Г3. Такое поведение подтверждается экспериментом 2).
Типичные значения коэффициента теплового расширения для металлов приведены в табл. 25.2.
Таблица 25.2
Коэффициенты линейного расширения некоторых металлов при комнатной
температуре
Металл Коэффициент а) Металл Коэффициент
и 45 Са 22,5
71 Ва 18
к 83 N1) 7,1
Ш) 66 Ре 11,7
Се. 97 г и 61 (II )
Си 17,0 14(±)
А«г 18,9 А1 23,6
Аи 13,9 ІП -7,5(||)
Ве 9,4(||) 50(1)
И,7(±) РЬ 28,8
Шg 25,7 (Н ) ІГ 6,5
