Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
в) Обсудите качественно зависимость числа решений от величины волнового вектора кг падающего нейтрона.
х) Обратите внимание, что число т может иметь любой знак в зависимости от того, с какой стороны решетки падает на нее волна.
114
Глава 24
3. Эта задача основана на приложениях М и О.
а) Пользуясь определением (0.17) величины IV и выражением (М.14) для и (К), покажите, что фактор Дебая — Валлера имеет вид
с-^=ехР {- „5 ^ 2 2-тЬй <ч-« ^сЛ тр^(к)} •
(24.28)
где V — соответствующий объем ячейки.
б) Покажите, что в одно- и двумерном случаях е-2^ = 0. (Рассмотрите поведение подынтегрального выражения при малых к.) К каким это приводит выводам в отношении возможного существования одно- и двумерного кристаллического упорядочения?
в) Оцените величину фактора Дебая — Валера для трехмерного кристалла.
ЛИТЕРАТУРА
1. Yarnell J. et al., Lattice Dynamics, ed. Wallis R. F., Pergamon, New York, lt)65.
2. Gobert G., Jacrot В., J. Phys. Radium, 19 (1959).
3. Pelah I. et al., Phys. Rev., 108, 1091 (1957).
4. Fray S. et al., Light Scattering Spectra of Solids, ed. Wright G. В., Springer, New York, 1969.
ГЛАВА 25
АНГАРМОНИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В КРИСТАЛЛАХ
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НЕАДЕКВАТНОСТЬ ГАРМОНИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБЩИЕ ЧЕРТЫ АНГАРМОНИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ И ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ КРИСТАЛЛА ПАРАМЕТР ГРЮНАЙЗЕНА ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ МЕТАЛЛОВ СТОЛКНОВЕНИЯ ФОНОНОВ РЕШЕТОЧНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРОЦЕССЫ ПЕРЕБРОСА ВТОРОЙ ЗВУК
В гл. 21 мы познакомились с фактами, заставляющими отказаться от модели статической решетки ионов х), и в последующих трех главах уже не применяли эту излишне упрощенную модель. Наше рассмотрение основывалось, однако, на следующих двух менее жестких упрощающих предположениях.
1. Предположение о малых колебаниях. Предполагалось, что, хотя ионы и не привязаны жестко к своим положениям равновесия, их смещения от положений равновесия малы.
2. Гармоническое приближение. Предполагалось, что мы можем точно определить свойства твердого тела, сохраняя в разложении энергии взаимодействия ионов вблизи ее равновесного значения лишь первый неисчезаю-щий член.
Предположение о малости колебаний кажется разумным для большинства твердых тел при температурах, лежащих гораздо ниже точки плавления (важное исключение составляет твердый гелий). Во всяком случае, мы вынуждены прибегать к нему, поскольку оно существенно упрощает проведение расчетов. Когда это предположение несправедливо, приходится строить чрезвычайно сложные аппроксимационные схемы, применимость которых далеко не ясна.
Может показаться, что в том случае, когда выполняется предположение о малых колебаниях, поправки к гармоническому приближению важны лишь в очень точных вычислениях. Это неверно. Существует множество важных физических явлений, которые не удается объяснить в чисто гармонической теории, поскольку они полностью обусловлены высшими членами в разложении энергии взаимодействия ионов вблизи ее равновесного значения, которыми обычно пренебрегают.
В этой главе мы обсудим ряд явлений, объяснение которых основано на наличии подобных ангармонических членов. Два примера нам уже встречались.
1. Квантовая теория гармонического кристалла предсказывает, что удельная теплоемкость при высоких температурах (Т 9 в) должна подчиняться классическому закону Дюлонга и Пти. В действительности теплоемкость при
*) Мы по-прежнему пользуемся термином «ион» в широком смысле, называя, например, «ионами» нейтральные атомы или молекулы, образующие молекулярный кристалл.
116
Глава 25
высоких температурах не стремится к значению Дюлонга и Пти, что обусловлено ангармоническим эффектом (см. стр. 57, а также стр. 82).
2. При обсуждении рассеяния нейтронов (гл. 24) говорилось, что в поперечном сечении неупругого рассеяния нейтронов должны иметься бесконечно узкие максимумы при энергиях, удовлетворяющих законам сохранения для однофононных процессов. Однако наблюдаемые максимумы, будучи достаточно узкими, имеют все же заметную ширину (см. фиг. 24.4). Мы объясняли это уширение тем, что собственные значения гармонического гамильтониана не являются истинными стационарными состояниями кристалла, т. е. ангармонические поправки к гармоническому приближению играют существенную роль. Ширина однофононных максимумов служит прямой характеристикой величины ангармонической части энергии взаимодействия ионов.
Дополнительные явления, основную роль в которых играют ангармонические члены, можно разделить на равновесные и неравновесные.
1. Равновесные свойства. Целый ряд равновесных свойств кристаллов, проявляющихся при любой температуре, удается удовлетворительно объяснить лишь при учете ангармонических членов в энергии взаимодействия ионов. Важнейшее из них — эффект теплового расширения. У строго гармонического кристалла равновесные размеры не зависели бы от температуры. На существование ангармонических членов указывает зависимость упругих постоянных от объема и температуры, а также несовпадение адиабатических и изотермических упругих постоянных.
2. Кинетические свойства. Теплопроводность диэлектриков ограничена (в случае идеального кристалла) лишь ангармоническими членами в энергии взаимодействия ионов. Строго гармонический кристалл обладал бы бесконечной теплопроводностью. Вероятно, это наиболее важное кинетическое свойство, определяемое ангармоническими членами, однако их роль существенна также почти во всех других процессах передачи энергии колебаниями решетки.
