Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть г<й. Тогда (см. примечание) (F1 — F2)/F2^ hrlR Итак, если требуемая точность расчета составляет 1 %, то точечными можно считать лишь заряды, сосредоточенные на телах, линейные размеры которых составляют 0,5 % от расстояния между телами.
Заметим, что величина погрешности определена нами с запасом, так как очевидно, что заряды шариков не могут быть сосредоточены в самых удаленных друг от друга точках.
Примечание. В ряде задач данного сборника использованы некоторые простейшие формулы приближенных вычислений, известные, к сожалению, не всем школьникам. Эти формулы базируются на следующем общем утверждении (доказательство его справедливости выходит за рамки наших возможностей): для любых вещественных т и таких вещественных х, что I X I < 1, справедливо равенство
К задаче 109.
от их радиусов и расстояния между ними). Без учета индукции сила кулоновско-го взаимодействия шариков определяется выражением F1 = q2/R2. Истинная сила взаимодействия F отличается
F1-F2 _ 1/Д»-1/(Д + 2г)» F2 1/(Д + 2г)»
(1 + ^-1 + 1*+?^^...
т
1581 В случае, когда ]х |1, а т порядка единицы (наиболее часто встречающаяся в физических задачах ситуация), в бесконечной сумме можно ограничиться первыми двумя слагаемыми, т. е. пренебречь членами, содержащими х2, э? и т. д. (Если \х | 1, тем более д.) Тогда получаем приближенное, но очень простое соотношение (1 + х)т ^ 1 + тпх, выполняющееся тем точнее, чем строже выполняется неравенство
Is |<1.
Последняя формула, в частности, дает
(1 + я)2 «=: 1 + 2х, 1/(1 + х) = (1 л-х)'1 ^l-Z, уТ+z = (1+2)1'2 ^l+ z/2 и т. д.
Если в тексте задачи или в процессе решения встречаются две одноименные величины а и А такие, что 1 а I А (или I а/А | 1), приведенные формулы могут существенно упростить вычисления. Вносимая при этом в результат относительная погрешность приблизительно равна а?/А2.
Например:
= (1+а/А)*ъ1 + 2а/А.
Для наглядности: если А = 100, а = 1, значение дроби (А + а) / (А — а), вычисленное приближенным способом, составит 1,02, точное же значение равно 1,020202...
Иногда говорят: „Но если | х | 1, не следует ли пренебречь и самим х сравнительно с 1?" Что же, не исключено и такое. Но при этом х может исчезнуть в конечном результате, что, разумеется, недопустимо, если требуется найти как раз влияние величины х на этот результат. (К примеру, правые части всех приведенных выше формул обратятся в 1, и станет неизвестно, как значение х влияет на величину выражений вида 1/(1 + х) или (1 + я)1/2).
В данной задаче результат был получен после следующих преобразований:
1/Д'-1/(Д+2г)* _ (Я+2г\2 __ 1 /(Л+2г)» \ R )
1581 ЗАДАЧА 110
Стеклянную палочку натирают шелком и проносят вблизи от мелких обрезков бумаги, фольги и т. д., которые притягиваются к палочке (известный демонстрационный опыт). Тем самым доказывается, что подвергнутая трению о шелк стеклянная палочка приобрела новое качество: по принятой терминологии наэлектризовалась.
Возникает вопрос, не противоречит ли этот опыт закону Кулона? Ведь обрезки не заряжены — это следует из того, что друг с другом они не взаимодействуют. А если заряд тела равен нулю, то по закону Кулона сила взаимодействия этого тела с любым другим — в том числе и с заряженной стеклянной палочкой — равна нулю.
РЕШЕНИЕ
Противоречия нет. Закон Кулона справедлив исключительно для точечных зарядов. Нейтральное же тело любых размеров, находясь в неоднородном электростатическом поле, принципиально не является точечным зарядом с величиной заряда, равной нулю. В силу явления электростатической индукции под действием внешнего поля от источника Л, для определенности положительного, на нейтральном теле В произойдет перераспределение зарядов. Тело станет аналогом диполя. Положительный и отрицательный заряды на нем одинаковы, но последние ближе к телу А, сила их притяжения к А превосходит силу отталкивания положительных зарядов (поле зарядов тела А — неоднородно!). В целом тело В притягивается к телу А.
Перераспределение зарядов, их пространственное разобщение на теле В стали возможны исключительно потому, что тело В имеет конечные размеры. Следовательно, в данном случае размеры тела В существенно влияют на его взаимодействие с телом А. А коль скоро так (см. задачу 109), тело В не есть точечный заряд, и закон Кулона к нему непосредственно не применим.
Данный случай является убедительным примером неудовлетворительности следующего широко распространенного определения: „Точечным зарядом называется заряженное тело, размеры которого пренебрежимо малы сравнительно с расстояниями до других заряженных тел".
В рассмотренном случае размеры тела В могут быть в тысячу или миллион раз меньше его расстояния до тела А. Размеры тела В можно довести до размера одной молекулы. И все-таки точечным зарядом оно не станет.
144 ЗАДАЧА 110
На расстоянии R от бесконечно протяженной металлической плоскости S находится точечный заряд q (для определенности q < 0) (см. рис. а). Найти силу, действующую на него со стороны плоскости.
РЕШЕНИЕ
