Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Если электростатический опыт проводится в некоторой ленинградской лаборатории, то никакие события в этой лаборатории не могут привести к появлению заметной (в пределах достигнутой сегодня точности измерений) напряженности и потенциала поля зарядов этого опыта на большом удалении, например в Буэнос-Айресе. Следовательно, этот город, с точки зрения ленинградца,
1581находится на бесконечном (в электростатическом смысле) удалении, а потенциал там по соглашению должен быть принят равным нулю. Земля.— проводник, и если потенциал какой-то ее точки равен нулю, потенциал любой другой — также равен нугію. Отсюда и следует, что потенциал Земли в Ленинграде равен нулю и одновременно равен нулю потенциал бесконечности.
Итак, сформулированные в задаче ограничения на потенциал равносильны друг другу.
Разумеется, при переходе от лабораторных опытов к исследованиям планетарных или космических масштабов эта равносильность может нарушиться, и тогда придется пользоваться только одним из ограничений.
ЗАД А Ч А 114 _
Доказать, что электрический заряд не может находиться в устойчивом равновесии под действием только электростатических сил.
РЕШЕНИЕ
Пусть имеется некоторое поле E (X, у, z), в одной из точек которого, например О, положительный заряд находится в состоянии устойчивого равновесия. Это значит, что при малом отклонении заряда от точки О в любую сторону возникает сила, стремящаяся вернуть его обратно. Отсюда следует, что в точке О сходятся все силовые линии, находящиеся в ближайшей к этой точке окрестности. Но такое возможно, лишь если в О расположен отрицательный заряд (ср. задачу 51). Следовательно, положительный заряд там разместить невозможно, что опровергает исходное предположение и доказывает теорему, содержащуюся в тексте задачи (теорема Ирншоу).
Из доказанной теоремы следует вывод фундаментальной важности. Как известно, любой атом содержит положительно (протоны) и отрицательно (электроны) заряженные частицы. С точки зрения электростатики такая система не может быть устойчива! А так как громадное большинство атомов устойчиво, приходится с неизбежностью считать атом системой динамической, т. е. приписать либо протонам, либо электронам непрерывное движение.
ЗАДАЧА 115
Между незаряженными пластинами 1 и 2' накоротко замкнутого плоского конденсатора находится тонкая металлическая пластина 3 с зарядом q. Все пластины взаимно параллельны, одного размера и расположены друг против друга. Пластину 3 (см. рисунок) перемещают на расстояние а перпендикулярно плоскостям обкладок. Какой заряд проходит при этом по внешней цепи конденсатора, если расстояние между его обкладками равно dl
1581Указание. Считать, что электростатическое поле пластины мало отличается от поля бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскости, напряженность которого определяется выражением E = 2яа, где а — поверхностная плотность заряда.
к
x
CU +X
РЕШЕНИЕ
Так как конденсатор замкнут накоротко, то при любом положении пластины 3 пластины 1 и 2 имеют одинаковый потенциал. Потенциал каждой из пластин является суммой трех составляющих: потенциала за счет собственного заряда и потенциалов, создаваемых в данном месте действием зарядов двух остальных пластин. Следовательно, поскольку при перемещении пластины 3 создаваемый ею потенциал на пластинах 1 и 2 меняется, должны меняться заряды на этих пластинах.
Так как по условию задачи поля пластин считаются однородными, то потенциал поля любой пластины изменяется линейно вместе с расстоянием до этой пластины. Поэтому в нашем случае не имеет смысла, как это обычно принято (см. задачу 113), полагать равным нулю потенциал бесконечно удаленной точки: при этом потенциалы точек, расположенных на конечных расстояниях от пластин, окажутся по абсолютной величине бесконечными (см. задачу 106), и никаких расчетов нам произвести не удастся.
Условимся считать, что нулю равен потенциал пластины 1. Выпишем выражения для потенциалов пластины 2 в двух положениях пластины 3 (на рисунке одно из этих положений изображено сплошной линией, а другое — пунктиром). Обозначим через <р'г и ф'2' искомые потенциалы второй пластины при первом и втором положениях пластины 3, а\ и a.j — плотности зарядов на пластинах 1 и 2 в первом, а aJ и a 2 — во втором положениях. Тогда
Ф2 = 2я [ — a\d + o'2d -\-a(d — x) — ах\ - = 0, ц>2 = 2я [ — a'id + er od + a (d — х — а) — а (х + a)] = 0.
Поскольку а.2 = —а[ и а,2' = —а'/ (так как суммарный заряд пластин 1 и 2 равен нулю), из выражений для потенциалов находим, что Aa = а[ — а\ = oa/d, где Aa — изменение плотности заряда на первой пластине при перемещении пластины 3 из первого положения во второе.
Так как размеры пластин одинаковы, то находящиеся на них заряды пропорциональны величинам плотности зарядов. Следовательно, искомая величина заряда, который прошел по внешней Цепи, определяется выражением Aq = qald.
А
К задаче 115.
1581Интересно отметить, что поле вне крайних пластин такое же, как если бы их вообще не было. А если бы крайние пластины были заземлены, то поле вне пластин отсутствовало бы.