Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
1581 участках ВС и AD работа не совершается, так как здесь перемещение перпендикулярно действующей силе. Так как А = 0, то E1 = E2, что и требовалось доказать.
б) Выберем замкнутый путь ABCDA, состоящий из двух дуг AB и CD и отрезков радиусов между этими дугами ВС и AD
В
-iSa- E1
дш
-зь"- E2
К задаче 107.
(рис. б). Работа перемещения заряда q вдоль этого пути А = = (— Or1E1 + аг2Е2) д, где а — угол между OA и OB, rL = OD, r2 = OA. Как и в предыдущем случае, на участках DA и ВС работа силами поля не совершалась. Отсюда E1IE2 = V2Ir1.
З А Д А Ч А 108
Полный электрический заряд системы, состоящей из нескольких проводников конечных размеров, положителен. Доказать, что найдется хотя бы один проводник, поверхностная плотность заряда на котором всюду неотрицательна. Размеры системы ограничены.
РЕШЕНИЕ
1-й способ. Представим себе электростатическое поле заряженных проводников в виде некоторой картины силовых линий. Так как поле внутри каждого проводника отсутствует, то силовые линии начинаются и кончаются на поверхности проводников в тех местах, которые заряжены.
Возьмем любой из проводников, например А, и найдем на его поверхности место, в котором находится конец какой-нибудь силовой линии (см. рисунок) (если такого места мы не обнаружим, то значит проводник везде заряжен неотрицательно, ибо силовые линии кончаются на отрицательных зарядах). Это и будет искомое. Будем переносить положительный пробный заряд из этого места вдоль силовой линии противоположно ее направлению. Следуя по этому пути, мы придем на поверхность какого-то другого проводника В. Пройдем по его поверхности, найдем на ней конец другой силовой линии и вновь пойдем ей навстречу. Будем продолжать этот перенос, следуя через проводники С, D и т. д.
1581 Справедливы следующие утверждения.
1. Такое движение не уведет нас в бесконечность, так как полный заряд системы положителен и, следовательно, силовые линии не приходят из бесконечности. Действительно, во всех достаточно удаленных точках поле нашей системы с ее ограниченными линейными размерами является просто полем точечного положительного заряда, силовые линии этого поля в таких точках направлены от системы и уходят на бесконечность.
2. В этом „путешествии" мы не можем побывать снова ни на одном из проводников, которые уже были пройдены: это означало бы, что какая-то часть нашего пути является замкнутой линией, и противоречило бы утверждению о потенциальном - характере электростатического поля.
Следовательно, поскольку число проводников системы конечно,
наше передвижение рано или поздно закончится, т. е. мы найдем проводник, в который силовые линии не входят. Поверхность такого проводника повсюду заряжена неотрицательно.
2-й способ. Рассмотрим потенциалы проводников. Могут иметь место два случая: а) проводники эквипотенциальны; б) потенциалы проводников различны.
В случае а) ни один из проводников не соединяется с другим силовой линией. Плотность электрических зарядов в любом месте на поверхности любого проводника неотрицательна.
В случае б) найдется один или несколько проводников с наибольшим потенциалом. Именно эти проводники и являются искомыми. (Доказательство предоставляем читателю.)
К задаче 108.
ЗАДАЧА 109
Точечный заряд определяют как заряженное тело, размеры и форма которого не влияют на его электростатическое взаимодействие с другими заряженными телами в рамках заданной точности. Поясним эту формулировку. Вычислим силу, действующую на исследуемый заряд со стороны окружающих зарядов двумя способами: а) полагая заряд на теле сосредоточенным в одной (любой) точке этого тела или б) находя истинное распределение заряда по телу и учитывая это в расчете. Пусть соответствующие значения сил равны F1 и F2. Тогда, если отношение | (F1 — F2)/F2 | меньше заданной относительной погрешности вычислений при любом выборе точки сосредоточения заряда внутри тела и то же справедливо для угла между векторами F1 и F2, наше заряженное тело есть точечный заряд.
1581 В качестве иллюстрации к данному определению требуется оценить относительную погрешность вычисления силы взаимодействия двух заряженных шариков с одинаковыми радиусами, возникающую при замене шариков точечными зарядами.
РЕШЕНИЕ
Рассмотрим два проводящих шарика радиусом г каждый, центры которых расположены на расстоянии R друг от друга, а заряды одинаковы по величине и положительны (см. рисунок). В результате электростатической индукции эти заряды переместятся к внешней стороне каждого шарика.
Не будь такого перераспределения зарядов, два однородно заряженных шарика взаимодействовали бы так же, как если бы заряд каждого из них был сосредоточен в его центре (что имбет место при гравитационном взаимодействии двух шаров независимо
от величины .F1. Очевидно, нижнюю границу F2 для силы F можно найти, положив, что заряды шариков сосредоточены в наиболее удаленных друг от друга точках, т. е. F2 = q2/(R + 2г)2.
Максимально возможную относительную погрешность находим из соотношения
