Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Из задачи необходимо сделать следующие выводы:
1581 а) при заряжении и перезарядке проводников неизбежны потери энергии на джоулево тепло;
б) пользоваться законом сохранения энергии в таких случаях следует очень осмотрительно.
ЗАДАЧА 124
На упругий проводящий шарик массой т, несущий заряд q, падает с высоты h такой же шарик с зарядом a) q, б) —q. На какую высоту подскочит шарик после удара? Нижний шарик через изолирующую прокладку жестко связан с Землей. Радиусы г шариков много меньше h.
РЕШЕНИЕ
В случае а) потенциальная энергия верхнего шарика, определяемая электростатическим и гравитационным полями, одинакова в момент начала падения (т. е. на высоте Л) и в верхней точке подъема после соударения, так как кинетическая энергия шарика в этих точках равна нулю, а перетекание зарядов с шарика на шарик при соударении отсутствует, так как одинаковые шарики несут одинаковые и одноименные заряды. Следовательно, шарик отскочит на ту же высоту h. Следует добавить, что при больших значениях зарядов q соударения вообще не будет, а при еще больших верхний шарик, если его предоставить самому себе, даже начнет подниматься вверх (это значение заряда легко вычислить) .
Случай же б) в рамках элементарной физики рассмотреть невозможно. Дело в том, что в момент столкновения заряды q и —q взаимно уничтожаются. Этот процесс будет сопровождаться выделением тепла и возникновением электромагнитного излучения. Подсчитать, какая часть первоначальной потенциальной энергии верхнего шарика перейдет в тепловую энергию и энергию излучения, простыми способами нельзя (см. задачу 123).
Заметим, что в случае а) часть энергии также переходит в тепло и в энергию излучения, но для лабораторных величин зарядов и скоростей этой частью можно смело пренебречь.
ЗАДАЧА 125
По сфере с радиусом R, составленной из двух полусфер, равномерно распределен заряд q. Определить давление изнутри на поверхность сферы, обусловленное взаимодействием зарядов. С какой силой необходимо действовать на каждую полусферу, чтобы они не расходились? Какой заряд нужно поместить в центре сферы, чтобы она находилась в равновесии?
РЕШЕНИЕ
Для решения задачи воспользуемся методом, который мы уже применяли в механике (см. задачу 45) и в молекулярной физике (см. задачу 83): подсчитаем работу, которую нужно выполнить,
1581 чтобы (мысленно) уменьшить на малую величину объем сферы, и результат, применяя закон сохранения энергии, сравним с изменением потенциальной энергии сферы.
Если искомое давление равно р, то, чтобы сжать сферу на малый объем AF (со всех сторон равномерно), нужно выполнить работу
AA = pAV = Anp [R3 - (R - А#)3]/3 ^ AnR2pAR, (1)
где AR — изменение радиуса сферы.
При этом потенциальная энергия заряда на сфере изменится на величину (см. задачи 109, 122)
AU:
2 R
2WAR-
2 (R-AR)
Тогда из равенства AA = A U находим, что
р = q2!SnR\
(2)
(3)
Для ответа на второй вопрос задачи воспользуемся аналогичным приемом. Пусть полусферы разошлись на столь малое расстоя-
AV1
К задаче 125.
ние Ах, что ни давление, ни распределение зарядов на них не изменились. При этом за счет взаимодействия зарядов произведена работа A^1 = JdAF1 = pnR2Ax (см. рис. а). Эту же работу можно подсчитать по формуле A^1 = FAa;, где F— искомая сила отталкивания полусфер. Следовательно, с учетом соотношения (3)
F = nR2p = q2/8R*. (4)
Перейдем к последнему вопросу. Поместим в центр сферы произвольный заряд q0. Сила, действующая со стороны этого заряда на малую площадку AS заряженной сферы, может быть найдена по закону Кулона:
AF = q0ASa/R2 = qQASq/AnRi, (5)
где 0 — плотность заряда на сфере. Очевидно, что если эта сила AF есть сила „давления на сферу снаружи" и равна по величане силе
1581 давления за счет взаимодействия зарядов на сфере, т. е. AF = = —ASp, то сфера находится в равновесии.
Таким образом, из (3) и (5) следует, что искомый заряд имеет величину
9о=-9/2. (6)
Обсудим еще один способ решения этой задачи. Поместим в центр сферы произвольный заряд q0, выделим на сфере малый участок AS и подберем величину заряда q0 таким образом, чтобы силы взаимодействия заряда Aq = о AS = qAS/AnR2 на выделенном участке с зарядом q0 (AF1) и с зарядом на оставшейся части сферы (AF2) компенсировали друг друга.
Указанные силы можно определить из выражений
AF1^q0AqZR2-, AF2 = AqE', (7)
где E' — напряженность поля, создаваемого заряженной сферой без участка AS в том месте, где расположен этот участок. Напряженности поля AE1 и AE21 создаваемого самим участком вблизи его поверхности, равны друг другу по величине (рис. б).
Представим поле целой сферы как суперпозицию полей с на-пряженностями E', AE1 и AE2. Так как поле вне сферы равно по величине qZR2, а внутри сферы отсутствует, то E' + AE1 = q/R2, E' + AE2 = О, откуда
AE1 = AE2 = E' =q/2R2. (8)
Подставляя выражение (8) в равенство AF1 = AF2 и учиты-- вая соотношения (7), приходим к формуле (6).
Изложенный метод приводит к верному результату. Однако в процессе решения используется неочевидное утверждение, которое на первый взгляд трудно заметить.
