Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Электростатическое поле потенциально. Поэтому величина искомой работы не зависит от способа перемещения зарядов (здесь и в аналогичных задачах, когда говорится о работе перемещения заряда в электростатическом поле, то подразумевается, что кинетическая энергия заряженного тела при перемещении неизменна). Удобно (для расчета) перемещать заряды постепенно, т. е. так, чтобы при перемещении одного из них остальные были неподвижны.
Поместив на шарик первый электрон, работы мы не совершим. После этого потенциал шарика увеличится до значения фх = e/R. Для перемещения второго электрона придется совершить работу A2 =¦ ефі — е2/Д; для перемещения к-то электрона Ah = ефй_х =3 = (ft — 1) e4R.
О
О
К задаче 122.
этом будет трудно подсчитать как каждый из них взаимо-
154 Пусть q = пе. Тогда работа, необходимая для зарядки шарика, определяется выражением
п
Tl
A = JiAk =
fl - "("-I) „2 R ' 2 R
(1)
fi = i ft = i
Если п ^ 1, то ?г (?г — 1) » п2 и
Л = q2/2R = U,
(2)
где U — потенциальная энергия шара.
Несколько замечаний к задаче.
Во-первых, при перемещении электрона к незаряженному металлическому шарику свободные электроны на самом шарике также перемещаются. 14з-за этого плотность заряда на шарике становится неравномерной, и возникает собственное поле шара, так что работа перемещения нашего электрона отлична от нуля. Если перемещать электрон к уже заряженному шару, то перераспределением зарядов можно пренебречь в том случае, когда взаимодействие друг с другом зарядов на шаре значительно больше их взаимодействия с приближающимся электроном, т. е. когда заряд шара значительно больше заряда электрона.
Во-вторых, как известно, свободные электроны и ионы кристаллической решетки шара совершают непрерывное хаотическое движение. Расстояния между заряженными частицами изменяются, благодаря чему плотность заряда на шаре претерпевает все время случайные изменения (флуктуации). Следовательно, утверждение „потенциал поверхности шара постоянен" справедливо лишь приблизительно. Погрешностью этого утверждения можно пренебречь, если флуктуации поля шарика значительно меньше величины средней напряженности этого поля, что имеет место, когда заряд шара значительно превышает заряд электрона.
Сформулированное ограничение является обычным требованием так называемой макроскопической электродинамики, которая сознательно не учитывает атомистического строения электрического заряда: считается, что заряд меняется непрерывно и сплошным непрерывным образом распределяется на заряженных участках тел. Поэтому все законы этой теории и их следствия справедливы только для заряженных тел, значительно превышающих электрон по размерам и величине заряда.
Таким образом, значения нескольких первых членов суммы в выращении (1) являются ошибочными; более же далекие члены этой суммы вычислены нами верно. При условии, что п 1, указанными ошибками можно смело пренебречь. Выражение же (1) самостоятельного смысла не имеет.
И еще одно. Так как емкость шарика равна R, выражение (2) можно переписать в виде
U = q2/2C = С<р2/2, где ф = q/R — потенциал шарика.
;з)
1581 • Легко показать, используя изложенный способ, что потенциальная энергия любой системы с емкостью С вычисляется по формуле (3).
ЗАДАЧА 123
На конденсаторе емкостью С находится заряд q. Энергия, запасенная на конденсаторе, равна тогда q2/2C (см. задачу 122). К этому конденсатору проводами без сопротивления подключили (обкладка к обкладке) точно такой же, но незаряженный конденсатор. Подсчитать энергию системы двух конденсаторов.
РЕШЕНИЕ
Иной читатель скажет: „А зачем подсчитывать? Провода без сопротивления, потерь энергии нет, работы при подключении не совершалось, следовательно, энергия системы должна равняться первоначальной энергии одного конденсатора, т. е. величине
Не будем, однако, торопиться. При подключении второго конденсатора заряд системы не изменится, а емкость С' увеличится вдвое. И тогда энергия системы окажется равной ф!2С = = <?2/4С, что составляет половину ее первоначального значения.
Стало быть, мы имеем дело с нарушением закона сохранения энергии? Разумеется, нет. В рассматриваемом случае подавляющая часть „исчезнувшей" энергии выделяется в виде джоулева тепла на соединительных проводниках. И не имеет значения, что их сопротивление равно нулю: тогда в первый момент по закону Ома ток через проводники будет бесконечно большим! Для наглядности пусть это сопротивление не нулевое, а очень мало, соответственно ток очень велик. Выделяющееся тепло, следовательно, выражается произведением очень малого числа на очень большое. Нельзя заранее утверждать, что такое произведение равно нулю. Ситуация может оказаться похожей на давно известное „с миру по нитке — голому рубашка".
Выполним необходимые расчеты.
С заряженного конденсатора на незаряженный перетекла половина заряда, т. е. ql2. Этот процесс начался при разности потенциалов ф = qlC и закончился при разности потенциалов, равной нулю. Воспользовавшись способом, примененным в задаче 122 в аналогичной ситуации, вычислим совершаемую при таком перемещении работу. Она окажется равной V2 (q2!2C), т. е. в точности соответствует „потерянной" энергии. Эта работа выполняется за счет потенциальной энергии, запасенной в первом конденсаторе, и расходуется (если пренебречь излучением) на увеличение кинетической энергии элементарных переносчиков заряда — электронов, а при остановке последних превращается в тепло.
