Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
152 нает растянутый во времени абсолютно упругий удар: первоначально двигавшийся электрон в пределе остановится, а прежде неподвижный будет удаляться от него со скоростью V.
В исходном состоянии потенциальная энергия взаимодействия электронов равна нулю. В конечном, т. е. установившемся, состоянии это также должно иметь место, иначе между электронами еще действуют силы взаимного отталкивания и оба они продолжают менять скорость. Следовательно, когда скорости электронов установятся, из закона сохранения энергии следует, что mv2/2 = = mvj/2 + mv\!2, где V1 и v2 — скорости электронов; т — масса каждого из них. На основе закона сохранения импульса mv = = mv j + mv2. Решение системы этих уравнений выполнено в задаче 36. В данном частном случае V1 = 0, v2 = v.
Наибольшее сближение электронов происходит в момент, когда скорости V1 и V2 электронов сравняются. В соответствии с законом сохранения импульса при этом V1 = V2 = v/2.
Применяя к этому моменту закон сохранения энергии, получаем, что mv2/2 = 2m(v/2)2/2 + e2/i?, где е— заряд электрона; R — расстояние наибольшего сближения. Отсюда R = 4e2/mi>2.
ЗАДАЧА 121
В обеих пластинах бесконечно протяженного плоского заряженного конденсатора имеются два малых отверстия, расположенных друг против друга. Свободный электрон пролетает сквозь эти отверстия, причем изменяется скорость, следовательно, и
К задаче 121.
I I і I I I
I I I I
-е
кинетическая энергия электрона (рис. а). С конденсатором же никаких изменений в конечном итоге не происходит. Как согласовать это с законом сохранения энергии? Потерями энергии на излучение (неизбежное следствие ускоренного движения электрона и перераспределения заряда на пластинах), равно как и потерями на джоулево тейло, пренебречь.
1581 РЕШЕНИЕ
Распространенное стремление привлечь для объяснения перераспределение зарядов на пластинах конденсатора и, следовательно, изменение его потенциальной энергии, несостоятельно. Перераспределение заряда действительно имеет место, но лишь в то время, когда электрон находится вблизи пластин. Это перераспределение происходит с конечной скоростью (вследствие конечной скорости движения электрона), и потери энергии на излучение и джоулеву теплоту малы (ср. с задачами 123, 124). Электрон, находящийся на большом удалении слева от конденсатора (исходное состояние, см. рисунок) и на таком же расстоянии справа (конечное рассматриваемое состояние), на распределение заряда на конденсаторе влиять не может.
Уточним условия задачи.
а) Пластины можно считать бесконечными в физическом смысле. Это значит, что размеры пластин конечны, но существенно превышают расстояние между ними. Если же пластины конечны, хотя и велики, то в данной задаче нельзя пренебрегать обычно не учитываемым краевым эффектом. На рис. а изображено схематически поле такого конденсатора. Легко видеть, что оно существует и вне пластин, где оказывает на электрон действие, противоположное действию поля между пластинами, т. е., применительно к нашему рисунку, замедляет электрон и перед конденсатором (в области А), и после него (в области В), в то время как внутри конденсатора электрон ускоряется.
б) Пусть пластины бесконечны в математическом смысле (хоть это, конечно, чистая абстракция). В этом случае нам придется учесть потенциальную энергию электрона. Сравним потенциальные энергии в лежащих слева и справа от конденсатора точках А и В (рис. б). Пусть фд = 0. Точка В находится в бесконечности. В обычных задачах из любой бесконечной точки А в любую другую такую же точку В можно попасть, минуя все те области пространства, где есть поле, а пробный заряд испытывает действие электрических сил. Поэтому в таких задачах фд = фд. В нашем же случае такого пути нет. Точки А и В разделены бесконечными пластинами. Попасть из А в В можно лишь пройдя сквозь конденсатор. Но внутри конденсатора пробный заряд испытывает действие поля, для перемещения заряда нужно совершить работу, и, следовательно, фд =^ фв-
Таким образом, в поставленной задаче существуют бесконечно удаленные точки с разными потенциалами.
Закон сохранения энергии применительно к электрону имеет вид
mvі/2 + фАе = тг;в/2 -f фВ е,
где Va я Vb — скорости электрона слева и справа от конденсатора, Va =^ Vb, Фд = 0, фв = ф, ф — разность потенциалов пластин конденсатора (ср. задачу 106, а).
154 ЗАДАЧА 110
Определить запас электростатической энергии, которой обладает металлический шарик радиусом R с зарядом q (см. рисунок).
О
О
РЕШЕНИЕ
Если предоставить зарядам разлетаться, то, удаляясь беспредельно от шарика и друг от друга, они способны совершить определенную работу. Подсчитаем работу, необходимую для того, чтобы эти рассеянные заряды вновь собрать на шарик. Очевидно, что величина этой работы и определяет запас электростатической энергии шарика.
В дальнейшем мы будем пользоваться математической терминологией, это удобнее. Если мы говорим, что два заряда „бесконечно" удалены друг от друга, _ то это означает, что взаимо- ^ действие этих зарядов практически отсутствует. Наша задача заключается в том, чтобы бесконечно удаленные друг от друга и от шарика элементарные заряды собрать воедино на шарике, т. е. в том месте, потенциал которого станет после этого равным величине q/R. Этого можно достигнуть разными способами. Например, можно одновременно сближать требуемое количество элементарных зарядов, как изображено на рисунке. Однако при работу перемещения зарядов, так действует со всеми остальными.
