Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
а = а (T)01 е9 р0), (111.61а)
Я = Я(Чо, Є, Po), (Ш.616)
N=Nfr04 еу Po)і (Ш.6ІВ)
234* P=P (?, е, Po), (ІІІ.6ІГ)
ц = (1 (г; е, р0), (ИІ.бІд)
p=p(r, TJ0. е, р0), (ІІІ.6ІЄ)
n = п (г; т)0, е, ро), (ІІІ.6ІЖ)
* = х (П Hat е, Pb), (ІІІ.6ІЗ)
У} = 7) (г; TJ0, е, Po). (ІІІ.6ІИ)
Правые части (III. 61) являются непрерывными функциями тю и е, когда р0=0, и непрерывными функциями р0 (или р,0), когда е=0, Tio=O.
Для каждого фиксированного значения полного числа частиц существует набор изолированных точек и непрерывных кривых в трехмерном фазовом пространстве \Х, Tj0, pol, где X — любая из величин равновесной конфигурации, за исключением полного числа частиц. Одно из этих фазовых пространств представляет особый интерес с физической точки зрения. Это — пространство X = а. Кривая масс и изолированные точки, представляющие равновесные конфигурации в фазовом пространстве (а, rj0, pol. определяются равенствами
« = «(Чо. Л). ) (IIL62)
N (т)о, еу P0) =COnstJ
Изолированные точки
* = 0, р0), j
N (O1 0, р0)-const,)
принадлежащие фазовому пространству массы, соответствуют
решению Толмена — Оппенгеймера — Волкова, а непрерывная кривая массы
" = I(WeO)e ) (IIL64)
JV(T)0, Є, 0) =Const J
представляет равновесные конфигурации тела, имеющего свободную внутреннюю границу и пустую полость с сингулярной мировой линией в центре.
Определение 15. Равновесные конфигурации называются устойчивыми, если при заданных уравнении состояния и полном числе частиц на кривой массы в фазовом пространстве им принадлежат локальные минимумы.
В точках локального минимума кривой (III. 64) постоянные т]о и е принимают определенные значения, а конфигурация зависит уже только от уравнения состояния и полного числа частиц. Это имеет существенное значение в теории построения сферичес-
235* ких астрофизических моделей, основанных на релятивистском уравнении гидростатического равновесия.
Следствие 21. Все функции и параметры ( a, Rf ?, т]0, е, j±(г), p(r)> п(г)> ц(г)) устойчивых равновесных конфигураций изолированного тела с пустой полостью определяются только заданными уравнением состояния и полным числом частиц. Масса этих конфигураций минимальна относительно малых изменений параметров TJ0 и е и стационарна относительно малых сферически-сим-метричных изменений распределения плотности числа частиц, давления или плотности массы.
Назовем изолированную точку (III. 63) в фазовом пространстве массы точкой Толмена — Оппенгеймера — Волкова. При заданных уравнении состояния и полном числе частиц точка Толмена—Оппенгеймера—Волкова может отсутствовать в фазовом пространстве. Это означает, что релятивистское уравнение (III. 5) гидростатического равновесия в этом случае не имеет решения, если е = 0, но имеет решения, которым соответствуют значения массы, принадлежащие кривой (III. 64) с е>0. Но и в том случае, когда в фазовом пространстве имеется точка Толмена—Оппенгеймера — Волкова, то ее масса (масса соответствующей ей конфигурации), вообще говоря, не является ни наименьшей, ни наибольшей в фазовом пространстве.
Следствие 22. При заданных полном числе частиц и уравнении состояния точка Толмена — Оппенгеймера — Волкова может принадлежать, но может и не принадлежать фазовому пространству массы. В первом случае масса соответствующей ей конфигурации не имеет, вообще говоря, ни наименьшего, ни наибольшего значения.
§ 36. устойчивые равновесные конфигурации
для сверхкритического числа частиц
Чтобы проиллюстрировать выводы, сделанные из аналитического исследования равновесных конфигураций на основе общего решения (теорема 48), приведем результаты численного решения. Для численного решения был выбран объект, полное число частиц в котором равно IO58, а термодинамическое состояние описывается уравнением холодного катализированного вещества Гаррисона — Уилера. Выбор объекта — число частиц и уравнение состояния вещества — не случайны. Многочисленные исследования показали, что на последней стадии эволюции, когда запасы внутренней энергии, способной поддерживать равновесное состояние, исчерпаны, холодное изолированное тело, состоящее из слишком большого числа частиц, не имеет равновесных состояний, если его структура — распределение плотности массы — подчиняется уравнению релятивистского гидростатического равновесия Толмена — Оппенгеймера — Волкова. Число частиц, при котором в конце эволюции исчезают равновесные конфигурации Толмена— Оппенгеймера — Волкова, называется критическим. Считается,
236* что тело с числом частиц, большим критического, должно испытать гравитационный коллапс.
Но отсутствие для сверхкритического числа частиц равновесных состояний, подчиняющихся уравнению гидростатического равновесия Толмена — Оппенгеймера — Волкова, еще не означает вообще отсутствия равновесных состояний для данного тела, если учесть, что его внутренняя структура определяется релятивистским уравнением гидростатического равновесия (III. 34 в) (следствие 22). Более того, в принципе существуют такие равновесные конфигурации (следствие 21), в которых распределение плотности массы свидетельствует о гравитационном отталкивании вещества тела от его центра. Это позволяет высказать предположение, что при любом числе частиц существуют равновесные устойчивее конфигурации, способные противостоять гравитационному коллапсу при помощи гравитационных же сил отталкивания. В ка-кой-то степени это предположение можно испытать в задаче нахождения равновесных устойчивых конфигураций для сверхкритического числа частиц.
