Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 18. Луч света, распространяющийся строго радиаль-но, отражается от центра с нулевой частотой в точке отражения, но не пересекает мировую линию центра, если мировая линия центра сингулярная (?>l).
Теорема 53. Круговые геодезические принадлежат области мира вне критической гиперповерхности.
Доказательство. Если-/] < то правая часть формулы •(111.41 б) меньше нуля, так как знаменатель в ней отрицательный, что невозможно. На критической же сфере Ь=0, a q=—1, как это следует из формул (III. 41), поэтому круговая геодези-
218* ческая вырождается в мировую линию свободной частицы, покоящейся на критической гиперповерхности.
з
Теорема 54. Если а < -r\R < а, то существуют по крайней
мере две гиперповерхности, которые содержат изотропные кру* говые геодезические. Области мира между ними принадлежит множество круговых пространственноподобных геодезических. Одна гиперповерхность лежит вне внешней границы источника, а другая — внутри.
з
Доказательство. Пусть t\R<-5- а. Тогда числитель
правой части формулы (III. 41 а) имеет не меньше двух корней,
3
один из которых равен а. а другой лежит внутри вещества. Последнее следует из того, что на внешней границе
а на критической гиперповерхности
1=1/? К
7I=37Ic
Между этими корнями числитель правой части (III. 41 а) меньше нуля, поэтому q= 1, и формулы (III. 41) определяют пространст-венноподобные геодезические.
Пример. Пусть ? = l, ло=0, |ui = const (несжимаемая жидкость). Интегралы в (III. 33) — (III. 35) выражаются через элементарные функции. Решение уравнения (III. 34 в) для этого случая было найдено Шварцшильдом (1916 6). Его можно представить формулами
О = |Х
V1 - і j/1
/З . Г X 9 X
^rsmY -T^r'• * = —
* ч
Tn
3
IayI/?
Здесь \ в противном случае давление в центре отри-
цательное, или его производная неограниченна.
Подставляя эти выражения в (III. 41) и приравнивая нулю числитель правой части (III. 41 а), находим гиперповерхность
219* внутри вещества, которой принадлежат круговые изотропные геодезические
..-T1-I
Tj (кр. ИЗОТрОП. гє0д.) = '»'/
"I/ 1 —
7J/?
9
Очевидно, что 0<т1(кр. изотроп. геод.) < Tj^, когда а<71/? <
з 3
В области f\R т]< а круговые пространственноподобные геодезические определяются формулами
Ti (кр. простр. геод.) = 5^1(1 + 4 ?2+-ТЕ V* + 9fO'
Ь2 (кр. простр. геод.) =Ь4+ + 3^3 + 9/:2-Е) > а параметры их изменяются в пределах
"jjV -2)"1<6г<сх>.
2(1
В этих же пределах меняются параметры и тех круговых прост-ранственноподобных геодезических, которые принадлежат области Г\ (кр. изотроп. гєод.) <TJ ^rjh.
Полная классификация и анализ траекторий свободных пробных частиц в области D\ мира, т. е. v\> v\R, были даны впервые Xa-гихарой (Hagihara, 1931). Основные же особенности изотропных геодезических в этой области были получены Богородским (1962), затем Арифовым и Кадыевым (1969) (см. также Зельдович и Новиков, 1967; Atkinson, 1965 и следующую главу этой книги).
§ 32. что находится на сингулярной мировой линии
центра?
События мировой линии центра в общем решении (теорема 48) уравнений Эйнштейна в случае, когда ?>l, являются точками истинной сингулярности метрики. Дифференциальные уравнения Эйнштейна в этих событиях не определены и могут иметь смысл лишь как предельный образ. От характера предельного образа зависит физическая интерпретация сингулярной мировой линии. Имеются две возможности. Первая связана с тем, что ближайшая окрестность мировой линии центра — полость D3f или мировая трубка между линией центра и внутренней границей,— свободна от вещества и теплового излучения источника, распределенного» в области D2. Во всех точках областей D2 и D3j за исключением
220* центра, метрика непрерывна и конечна и в D3 обращает в нуль левую часть уравнений Эйнштейна. В соответствии с этим в D3 равны нулю все компоненты тензора энергии-импульса. Доопределим уравнения Эйнштейна, приравняв их левые части в сингулярных точках значениям их пределов при стремлении к центру регулярного события из области D3. Тогда сингулярная мировая линия центра пустая, на ней нет ни вещества, ни излучения. Сингулярный характер метрики на пустой мировой линии центра, как и ее регулярный характер в пустой области D3, обязан, согласно уравнениям Эйнштейна, распределению вещества и излучения в D2. Плотность энергии и давление в D2 неотрицательные.
Другая возможность связана с переопределением тензора энергии-импульса. Если ввести в тензор энергии-импульса добавочный член в виде б-образного слагаемого, то значение метрики не изменится в регулярных точках D3, но изменится значение предела метрики в центре. В этом случае сингулярность метрики на мировой линии центра обязана существованию на ней точечного источника с отрицательной массой.
Для математического анализа этих двух возможностей удобно воспользоваться теоремой Гаусса — Остроградского на гиперповерхности X0 = Const. Если в статическом мире выбраны координаты, явно выражающие условия статичности метрики, то одно из уравнений Эйнштейна принимает вид (Синг, 1963)
