Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
§ 37. компактные объекты с большим дефектом
массы
Большая часть дефекта массы каждой из четырех равновесных устойчивых конфигураций, найденных для сверхкритического числа частиц IO58 (см. предыдущий параграф), обусловлена именно гравитационным взаимодействием, а не короткодействующими силами, ответственными за термодинамическое состояние вещества. Действительно, гравитационный дефект массы AiAf конфигурации определяется формулой
A1Af = Atz j' [ITj2Afr — А/, 6
11-14
-241 первый член правой части которой представляет собой значение массы вещества, занимающего тот же объем и распределенного с той же плотностью, что и в конфигурации. Его можно переписать так:
R
4* J (В + \xs) м? Clr1
о
здесь ms = 1,659- 10~24г, что составляет 1/56 массы атома56Яе; В = ---rns. Функция В зависит от уравнения состояния вещества, и ее значения для уравнения состояния Гаррисона— Уилера изменяются в пределах 0 < В < 2- 10~27г, когда [л изменяется от 7,86 до 2-Ю9г/см3. Поэтому для каждой из конфигураций имеет место равенство
R
^rfdr = mN (1 + є).
о
где 0<е 1,2-Ю"3. Отношение ms к массе свободного нуклона т0 из-за ядерного дефекта масс отличается от единицы не более .чем на 0,01, поэтому
R
4тг JV^rfr = 0,99 m0N( 1 + є).
о
Таким образом, гравитационный дефект отличается от дефекта массы A2Af
A2M = /TC0TV- M
конфигураций не более чем на сотую долю суммы масс свободных частиц. Поэтому в процессе конденсации IO58 частиц в эти конфигурации выделяется энергия гравитационного взаимодействия в количестве от 0,34 (верхнее состояние на рис. 11) до 0,49 (нижнее состояние) суммы их масс.
Предположим, что частица с массой т0, покоящаяся на бесконечности, адиабатически переносится на поверхность изолированного тела, находящегося в равновесном устойчивом состоянии. Под адиабатичностью понимается следующее: в процессе переноса частица совершает работу за счет поля тяготения тела, или затрачивается энергия по преодолению только гравитационных сил. Внутреннее состояние частицы не меняется, а какие-либо процессы, связанные с потерей или выделением негравитационной энергии (например, электромагнитное излучение и пр.,), отсутствуют. Найдем количество энергии, освободившееся при таком переносе.
Рассмотрим две точки М\(ги 0, <р) и М2(г2, 6, <р) мира (III. 13) и свободную частицу т0, движущуюся вдоль радиуса,
242* которому принадлежат эти точки. Полная энергия частицы, являющаяся интегралом движения (см. § 33), определяется формулой
E = . (III .65)
x /2
Пусть в точке Mі скорость частицы равна нулю, тогда Ei = т0е ' . В точке M2 частица имеет скорость V2, а ее полная энергия складывается из кинетической, включающей энергию покоя, и потенциальной (гравитационной). Если в точке M2 частица мгновенно
- с х„/2
остановится, то ее энергия станет равной E2=т0е , а разность энергий свободно движущейся и остановленной частицы выделится в виде работы, совершенной ею:
W = у=Т -E2 = - г"'). (111.66)
Нетрудно видеть, что освободившаяся энергия равна разности гравитационной энергии частицы в этих точках:
W = Eg{\)-Eg{2). (111.67)
При использовании формулы (III. 50) для гравитационной энергии необходимо учитывать полную энергию рассматриваемого состояния частицы. Например, гравитационные энергии движущейся и остановленной частицы в точке M2 отличаются. Формула (III. 67) еще раз оправдывает именно такое определение гравитационной энергии*. Если точка Mi удалена на бесконечность, а M2 лежит на поверхности тела, то формула (III. 66) принимает вид
W^m^X-e4*11). (III.68)
Так как движение свободной частицы вдоль радиуса отвечает условию адиабатичности, то последняя формула и выражает искомую энергию, освобождающуюся при адиабатическом переносе частицы из бесконечности на поверхность тела. При этом в полную энергию тела вносится дополнительная порция энергии (энергия внесения), равная
т0 - W = m0eMR)!2.
Зельдович (1962) показал для решения Толмена — Оппенгеймера — Волкова, что произведение энергии внесения одной частицы в некоторую произвольную точку равновесной конфигурации на химический потенциал в этой точке не зависит от точки внесения* Эта независимость есть следствие экстремальности массы равновесной конфигурации относительно изменения плотности массы, сохраняющего ее центральную симметрию. Поскольку в общем
* Вообще, оно справедливо только для статического мира и не может быть распространено на нестатические случаи.
243* решении масса равновесной конфигурации также экстремальна (следствие 20), то теорема Зельдовича справедлива и в общем случае.
Теорема 59. Произведение энергии внесения одной частицы из бесконечности в некоторую точку равновесной конфигурации на химический потенциал в этой точке, отнесенное к единице массы покоя этой частицы, не зависит от точки внесения.
Следовательно,
поэтому
d^ex'2 = т e4R)l\ dn s '
^L = mseHR)l2. (111.69)
Поскольку в равновесных устойчивых конфигурациях все функции и постоянные конфигурации при заданном уравнении состояния вещества зависят только от полного числа частиц (следствие 21), то равенство (III. 69) можно проинтегрировать и представить массу тела в виде
