Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть glJLv —метрический тензор мира (III.13), a — возмущенный метрический тензор, так что
248*Так как невозмущенная метрика статическая, а вращение тела и соответствующее ему возмущение метрики вращательного типа описываются функциями, явно не зависящими от времени (стационарная метрика), то 8g^v являются малыми функциями сферических координат г, 0 и ср.
Изучение произвольного возмущения можно свести к изучению отдельных мод разложения по сферическим функциям Yf:
ум в е1м,рм (cos О), о < Af < Z
Re (Yf) = yL M = cos (Afcp) Pf (cos 0),
Im (rf) ^ yf = sin (Afcp) Pf (cose),
где Pf — присоединенные функции Лежандра. Это позволяет привести матрицу og возмущения метрики к удобному для анализа виду (Редже, Уилер, 1957). Действительно, компоненты g02 и g03 метрики образуют двумерный вектор относительно поворотов сферы (0, ср), другой вектор образуют компоненты gl2 и giз, три компонента gT1, g-2з и ёзз группируются в двумерный тензор 2-го ранга, а остальные компоненты go0, ^01 и gn преобразуются как скаляры. В качестве первого сферического вектора данной моды разложения можно взять вектор
OY4
i, ^n = 2, 3. (III.72)
Здесь A0 (г) — произвольная малая функция, — метрический
тензор, а enk — тензор Леви —Чивита на сфере.
Однако он содержит только одну произвольную функцию вместо двух функций, через которые выражаются соответствующие моды ogo2 и ogo3- Одна из этих последних функций отражает имеющийся произвол в выборе системы координат. В частности, ин-финитезимальное преобразование
X* = Jf+ ? (г, 6, ср)
оставляет без изменения метрику мира (III. 13), но трансформирует возмущенную метрику к виду
g = g -f bg — E — S .
Ojjlv о u.v « о uv ;jl; v v, jjl
Поэтому специальным выбором I0 (г, 0, ср) два компонента go2 и go3 можно совместить с вектором на сфере (III.72). Аналогично приводятся и компоненты gi2 и для чего используется функция V (г, 6, ср). А с помощью оставшихся *вух функций ?2(г, 0, ср) и ?3(г, 6, ср) полезно удовлетворить равенствам
І22 = О и ?33 = Sin2Og722.
249*Для каждой моды матрица возмущения метрики теперь имеет следующий вид:
Ни h iM п° sin 0 ' A0SinG А
H2, h Ш П{ sin 6 ' A1 sinoA 0 уМ 1 L
5 ГI2 Sin2OAT
Амплитуды Но, Hі, H2, К, H0 и hx возмущения являются малыми функциями радиальной координаты и чисел LhM, характеризующих данную моду. Они должны удовлетворять условиям (X — любая из амплитуд):
а) асимптотическое поведение — Ar-^O, когда г-> оо;
б) поведение на границах — [ArJs = [А"]? =0,
в) поведение в центре — X 0, когда
Второе условие обеспечивает гладкое сшивание метрики на поверхностях возможного разрыва ее непрерывности или непрерывности ее производных, а последнее следует из физического требования отсутствия малого вращательного возмущения в окрестности мировой линии центра.
Подставим в левую часть уравнений (1.17) Эйнштейна g^v , а в правую — возмущенный тензор энергии-импульса T = T^ + + ST 9 который очевидным образом выражается чере^ искомые возмущения плотностей массы fyx, давления Ър и четырехскорос-ти Ьиа (вследствие стационарности компоненты Sui и Sa1 равны нулю). Получим десять уравнений, связывающих функции возмущения метрики и вещества и их производные. Они линейны по функциям возмущения, поскольку произведениями функций возмущения и их степенями выше первой можно пренебречь из-за малости возмущения:
{//;+(*' + 2 Ї) я0' - +4-х'я;+* + зР) я2 -
-l'K'Yt = + (III. 73)
(* fr+р)- lm^l } H1 Vf = 0, (111.74)
250*dYM
+ (H1 + 4"X яі) if" = - 2x (t1 + p) exi2iu2, (IFI.75) - ім{н[ + I-Xff1) Vti = 2* (г + p) ex'4u3, (111.76)
{r + 2^' +їх) - +4 X')H;+
+ T[- 0» - P) ¦- lsl^1] ^=T* - (111-77)
-1)(,+ (Ш78) ш {я0- - +(-1X' - і) я0+(4- >; + 7/,} Kf +
+ 2)AiSine^ = 0, (Ш.79)
+ + (fJr - ctSer/1) =*«р - (ш-8°)
Ш [H2 - N0) - ctgerf) + [h[ + 4 X1A1) X
(НІ.81)
{дг-++ 4 - <™±а> * (<+ Я,') +
, sinflcosfl 2Ш/.' , Ij'.\ +-V-(^-^o)-^" + "^!+ 2 X «jj X
\
coseKf — sin б a(f 1 = xsin26(^ — S|i). (III.82)
251*Эти уравнения имеют место как во внутренней D2, так и в обеих внешних областях D1 и D3 определения (III. 33) —(III. 35) функций Х(г) и т)(г). Во внутренней области их необходимо дополнить двумя уравнениями
3/> = аг>. ("I-83)
еХ12Н0У? = 2Ъи0. (111.84)
Первое уравнение отражает тот факт, что при малых возмущениях термодинамическое состояние вещества остается неизменным, по крайней мере, в линейном приближении. Вторым учтено свойство единичности четырехскорости. При выводе уравнения (111.73) использовано равенство (III. 84) без изменения области его применимости.
Полученная система девяти обыкновенных дифференциальных и трех алгебраических уравнений представляет собой совместную систему уравнений поля для шести функций возмущения метрики мира и шести функций, характеризующих возмущение вещества— его массы-энергии, давления и скорости,—обусловленных медленным вращением источника.
Так как анализ уравнений (III. 73) — (III. 84) отличается некоторыми особенностями для случаев L= 1 и L> 1, то рассмотрим их порознь. Пусть L> 1. Тогда из уравнений (III.78) и (111.79) следует