Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
ния, однако, будет уже не мировая линия центра сферической симметрии, а критическая гиперповерхность. А поведение гравитационного поля в области между этим «центром» и центром симметрии аналогично глюонному — с удалением от «центра» притяжения в направлении центра симметрии его действие возрастает, а не падает, как это происходит при удалении в направлении внешней границы тела.
228* внутреннего решения, которое могло бы быть сшитым на границе тела с решением Рейснера — Нордстрема, если граница находится в области r<Q2/а. Во-вторых, силы гравитационного отталкивания в области r<2Q2/a должны действовать не только на свободные пробные частицы, но и на частицы, принадлежащие границе тела, и вместе с давлением вещества и силами электростатического взаимодействия, направленными в ту же сторону, отодвинуть границу тела за r=2Q2/a. Следовательно, любое внутреннее решение для электрически заряженного вещества изменит внешнее решение Рейснера—Нордстрема в области r<2Q2/a. В остальной области, приемлемой с физической точки зрения, гравитационное поле имеет характер притяжения.
Если Q^a/2, то область r<2Q2/a мира в решении Рейснера—¦ Нордстрема находится под горизонтом событий. В физической же области вне горизонта действует также только поле гравитационного притяжения.
§ 34. экстремальность массы равновесного
состояния изолированного тела
Вместо постоянной ? общего решения (теорема 48) иногда удобнее использовать другую. Предположим, для определенности, что общее решение представлено формулами (III. 33) — (III.35), а квадратичная форма (II 1.3) приведена к виду (III.13). Введем обозначение
e = -JL(?-l). (III.S1)
Постоянная е неотрицательная. Она положительная, если мировая линия центра сингулярная, а тело имеет свободную внутреннюю границу. При Tio=O постоянная е обращается в бесконечность, однако произведение ег\о имеет вполне определенное положительное значение. Решению Толмена — Оппенгеймера — Волкова (Р = 1. Tjo=O) соответствует нулевое значение е.
Определение 13. Мгновенно-статической называется такая конфигурация — функции распределения плотности массы, давления, плотности числа частиц, масса, площади поверхностей свободных границ (внешней и внутренней), вместе с функциями X и г] геометрии мира — изолированного тела, которая удовлетворяет двум уравнениям (III. 4) Эйнштейна.
Теорема 56. Если заданы уравнение состояния вещества, распределение плотности числа частиц (в случае, когда внутренние границы вещества и источника не совпадают, то и распределение плотности энергии теплового излучения в области между ними), полное число частиц и значения г\0 и е (или ег]о), то мгновенно-ста-тическая конфигурация тела определяется единственным образом.
Доказательство. Пусть термодинамическое уравнение состояния вещества задано в виде (III. 2 б). Тогда из формул
229* (III. 1) и (III. 2 б—г) и заданного условиями теоремы распределения плотности числа частиц сразу же следуют функции \х(г) и р(г). Поскольку правая часть уравнения (III. 4 а) теперь известна, то оно имеет единственное решение Т| (г) такое, что
4(°) = ?. ^ =VrTH.
Последнее равенство вытекает из определения (III. 51) и формулы (III. 35). Если Tio=O, а е=оо, т. е. задано положительное и конечное значение ет\о, то в (III. 4 а) достаточно произвести замену, например, ті (г)=у2,3(г), и искать функцию у (г) в области ее изменения (0, оо), удовлетворяющую этому уравнению при начальных значениях
у<°> = °. SvO = -T^sr-
Радиус внешней границы тела определяется формулой для заданного условиями теоремы полного числа M частиц
JV =z 4ir j* ri ff dr, о
в которой обе функции п(г) и rj (г) определены. Из (III. 21) и (III. 51) следуют равенства
где
1J/?
^f = x J ^rfdri.
ъ
Подставляя найденные функции jх(г) и ц(г) и значения г|о, ^ и riR в (111.54) и (111.53), находим значения а (массы М) и ?. И, наконец, функция а(г), удовлетворяющая уравнению (111.4 6) Эйнштейна, может быть найдена с помощью формул (III. 33), (III. 34 б) и (III. 35), поскольку все необходимые для этого функции и постоянные уже известны.
Произвольная мгновенно-статическая конфигурация не может, конечно, удовлетворять также и третьему уравнению (II 1.5) Эйнштейна, так как именно распределение плотности числа частиц, а вместе с ним и распределение давления в ней произвольны. С изменением распределения числа частиц, т. е. с переходом от одной мгновенно-статической конфигурации к другой, изменяется масса M конфигурации. Оказывается, конфигурация, удовлетворяющая уравнению (III. 5), отличается от других мгновенно-
(ИІ.52)
(111.53)
(111.54)
230* статических конфигураций тем, что ее масса экстремальна. И наоборот.
Теорема 57. Для того чтобы масса мгновенно-статической конфигурации при заданных уравнении состояния вещества, полном числе частиц и значениях т]0 и е (или ет]о) была экстремальна, необходимо и достаточно, чтобы функции конфигурации удовлетворяли релятивистскому уравнению гидростатического равновесия (III. 5), а давление на внешней границе обращалось в нуль.
