Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть теперь р>1. Функция г\' в области Df2 изменяется от наибольшего значения на внутренней границе, где т|'(0)>1, до значения rj'(7?)<l на внешней границе. Поэтому сомножитель
о
(III.71)
246* под знаком интеграла в (III. 71) может вообще быть знакопеременной функцией в D2 при конечных, отличных от нуля, значениях а. Поэтому не исключено, что гравитационный дефект массы принимает в некоторых равновесных конфигурациях не положительное, а отрицательное значение. Если же а-*0 при постоянном значении N, то, как это следует из (III. 52) — (III. 54), W остается конечной и большей нуля величиной, а гравитационный дефект массы растет до наибольшего из возможных значения.
§ 39. малые вращательные возмущения
Исследование малых возмущений, нарушающих сферическую симметрию, преследует две цели. Первая состоит в решении принципиальной проблемы устойчивости сферически-симметричного решения уравнений тяготения относительно малых отклонений от сферической симметрии. Строгая сферическая симметрия является идеализацией с целью максимального упрощения физической задачи. На самом деле даже в абсолютно изолированном теле имеются флуктуации плотности массы, которые нарушают сферическую симметрию тела. Поэтому точное сферически-симметричное решение уравнений только тогда пригодно к описанию физической реальности в первом приближении, когда оно способно выдержать испытание на устойчивость относительно малых произвольных отклонений функций от сферической симметрии.
Вторая цель связана с потребностью детально изучить поведение физической системы вблизи ее равновесного состояния. С одной стороны, понятие физической системы вблизи ее равновесного состояния вмещает в себя достаточно широкий класс задач, с другой, математической точки зрения, состояние системы вблизи равновесного может быть изучено сравнительно легко, поскольку его можно представить как возмущенное равновесное состояние, что позволяет линеаризовать уравнения. Это же относится к малым возмущениям, не нарушающим сферической симметрии, но нарушающим: статичность решения, — малым радиальным колебаниям тела.
Произвольные малые возмущения изолированного сферически-симметричного тела подразделяются на два типа — вращательные и колебательные. Вращательные возмущения представляют интерес для астрофизики, так как практически любой астрофизический объект обладает отличным от нуля моментом количества движения. Первыми рассмотрели проблему устойчивости сферически-симметричного решения уравнений Эйнштейна Редже и Уилер (Regge, Wheeler, 1957). Они получили уравнения для возмущения метрики обоих типов во внешней области и проанализировали возмущение метрики Шварцшильда (III. 36) без учета возмущения метрики внутри вещества, или хотя бы поведения возмущенной метрики вблизи границы тела. Затем с использованием уравнений Редже и Уилера эта задача была исследована
247* (Vishveshwara, 1970; Edelstein, Vishveshwara, 1970) для внешней области, простирающейся вплоть до гравитационного радиуса. Вишвешвара пришел к выводу об устойчивости гравитационного поля невращающейся черной дыры относительно нерадиальных возмущений, в том числе и вращательных. Помимо асимптотического поведения метрики на бесконечности, Вишвешвара существенно использовал условие регулярности возмущения метрики на гравитационном радиусе в координатах Крускала. К такому же выводу пришел Монкриф (Moncrief, 1974 а), исходя из вариационного принципа для возмущения внешнего поля черной дыры.
Некоторые вопросы устойчивости внутреннего решения исследованы Чапдрасекаром (Chandrasekhar, 1964, 1965) и др. (Misner, ZapoIsky, 1964; Moncrief, 19746; Steven, 1975; Friedman, Schutz, 1975; Taub, 1969; Schutz, 1972; Thorne, Campolattaro, 1967, 1968; Price, Thorne, 1969; Thorne, 1969a, 6; Campolattaro, Thorne, 1970). В большинстве работ использовались вариационный принцип в той или иной форме, или энергетические соображения, и главным образом уделялось внимание устойчивости равноЕесных состояний относительно радиальных возмущений, Несферические возмущения во внутренней области изучались, например, Монкрифом (Moncrief, 19746), установившим, в частности, достаточное условие устойчивости равновесия относительно колебательных возмущений с L^2.
Устойчивость внешнего решения Шварцшильда освещалась и в других работах (Гурович, 1965; Дорошкевич, Зельдович, Новиков, 1965), посвященных малым отклонениям от сферической симметрии медленно вращающихся тел. В отличие от упомянутых выше, в них рассмотрено внешнее поле протяженного, а не сосредоточенного в центре тела, и решение дифференциального уравнения для функции возмущения сведено к интегралу, но рассмотрение ограничено сугубо частным случаем аксиально-симметричного вращения. В общем же случае дифференциального вращения протяженного тела аксиальная симметрия отсутствует.
Чтобы исследовать равновесное состояние сферического тела, определяемое общим решением (III. 33) — (III. 35), на устойчивость относительно малых возмущений вращательного типа и получить функции, описывающие состояние и метрику мира медленно вращающегося тела (Арифов, Левченко, 1976; Арифов, За-лалетдинов, 1981), необходимо рассмотреть вращательное возмущение самого общего вида без специального предположения об аксиальной симметрии, и не только во внешней, но и во внутренней области с учетом сшивания функций возмущения на границе тела.
