Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
-S- J Qdv — Л1/2.
•Последовательность (Лі, Л1,... , UUL, ...1 сходится к (Тихонов, [mm т I
Самарский, 1972) 8-функции, поэтому решение уравнения (III.48) является той функцией, к которой сходится последовательность {Фл} функций, каждая из которых удовлетворяет соответствующему уравнению последовательности
I АФ = —Фа [ л * 1 '
Пусть VZZtVy Тогда для функции Фп справедливо соотношение Гаф dv = rf) d^dS1 -lim fa^dS1.
Jn у дх1 ? -»-u Jdx1
(V) (S) (5(3))
Последовательность [Фя} порождает неограниченную последовательность чисел
'а § і- (Ш-49)
11-14 -224 предел которой при П-+ЭО и необходимо найти. Но при єО область vn содержит в себе ^ (в), а в Vn функции \><п и Фл непрерывны, поэтому, согласно теореме Гаусса — Остроградского в форме (HI.44),
Iim (f) d^dSi = Iim Г ДФ„ dv = ^r lim Г * ФЛ> = 0.
є-»0 У с->0 J Л 2 s+uj
(6(e)) (?(«)) (Z/(s))
Следовательно, последовательность (III. 49) сходится к нулю, и
Iim (j) -^-rfS'= 0. s+o J дх1
(6(e))
Различия между решениями уравнений (III. 45) и (III. 48) заключаются в разном их поведении вблизи сингулярной точки: решение уравнения (III. 48) при у\ 0 растет медленнее, чем функция, удовлетворяющая (III. 45), с которой оно совпадает в окрестности любой регулярной точки. В соответствии с этим метрика мира в D3, включая и сингулярную мировую линию центра, удовлетворяет либо уравнению Лапласа (III. 45) (в центре (III. 47)), либо уравнению (III. 48). В первом случае вся область D3, включая и мировую линию центра, пустая, а метрика в ней полностью определяется распределением неотрицательных плотности энергии и давления вещества и излучения в D2. Во втором случае область D3, за исключением мировой линии центра, пустая, на мировой линии центра находится отрицательная точечная масса, а метрика мира в D3 определяется этой отрицательной точечной массой и распределением обычного вещества и излучения в D2. Имеются работы (см., например, Bondi, 1957; Терлецкий, 1966, 1981), в которых высказывается мнение о допустимости в природе отрицательных масс и рассматриваются следствия, вытекающие из такого допущения в общей теории относительности. Здесь и далее излагается точка зрения, придерживающаяся первой интерпретации, оставляя в стороне гипотезу отрицательных масс. Согласно этой интерпретации, на сингулярной мировой линии центра нет ни вещества, ни излучения; область D3, включая и сингулярную мировую линию, пустая, а сингулярность метрики на временноподобной мировой линии центра обусловлена, как и регулярное поведение ее в остальных событиях D3, распределением вещества и излучения в D2.
§ 33. гравитационное отталкивание
Статическое гравитационное поле в релятивистской теории тяготения поддается простой интерпретации на языке ньютоновой механики и ньютоновой теории тяготения. Это связано с тем, что именно в статическом случае одно из уравнений Эйнштейна, представляющих собой релятивистский закон гравитации, при-
11-14
-225 нимает форму (III. 43), близкую уравнению Пуассона, а при условии слабости поля и пренебрежении малыми поправками и вовсе совпадает с ним (принцип соответствия 2). Роль ньютонова потенциала гравитационного поля играют при этом К—?Гоо или InjZr-^00 (с точностью до нормировочной аддитивной постоянной). Не случайно градиент этой величины связан с градиентом давления в уравнении релятивистской гидростатики (III. 5)—поверхностная сила, с которой на выделенный элемент источника действуют его остальные части, компенсирует гравитационную силу.
Локальное ускорение, которое имеет свободная частица с нулевым угловым моментом (см. § 31), дает представление о гравитационной силе в статическом поле. Поскольку частица свободная (мировая линия — геодезическая), негравитационное воздействие на нее источника поля исключено с помощью пустой мировой трубки, вырезанной в теле источника вдоль мировой линии, а центробежные силы, камуфлирующие характер влияния полевых сил, устранены вместе с угловым моментом, то движение частицы происходит под действием только гравитационной силы, пропорциональной локальному ускорению. Направление гравитационной силы, как и направление локального ускорения, зависит от точки пространства: во всех точках вне критической гиперповерхности сила направлена к центру, равна нулю на критической гиперповерхности и направлена от центра, когда точка находится между критической гиперповерхностью и мировой линией центра. Если ?=l, то критическая гиперповерхность вырождается в мировую линию центра (теорема 48), а область, в которой гравитационная сила направлена от центра, отсутствует. Если же ?>l, то появляется область мира г<гс, в которой гравитационное поле эффективно действует как поле отталкивания от сингулярной мировой линии центра (Арифов, 1970, 1979 6, 1981). Отталки-вательный характер гравитационного поля особенно наглядно проявляется в зависимости потенциальной энергии от расстояния. Действительно, из (III. 42 а) следует выражение для полной энергии свободной частицы с произвольным угловым моментом в гравитационном поле —
