Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
где А — оператор Лапласа на гиперповерхности x° = const; Ф2 = ех. Для тензора энергии-импульса (1.18 6) это уравнение можно переписать в виде
Раскрыв оператор Лапласа для квадратичной формы (III. 13), легко убедиться, что последнее уравнение эквивалентно уравнению Эйнштейна (III. 4 в).
Применив теорему Гаусса — Остроградского к произвольной связной области v гиперповерхности ^0 = COnst ( aS —вектор внешней нормали к поверхности области v, абсолютное значение которого равно элементу площади dS поверхности), получим
Теорема Гаусса — Остроградского в форме (III. 44) справедлива, если функция Ф непрерывна в v вместе с частными производными первого и второго порядка и существуют ее первые производные на поверхности S.
ДФ = -2-*(ц + 3/і)Ф.
(111.43)
ІІІІ.44)
221* Рассмотрим область ^ (?) < *h< ^0) в D3 (111.35). (исключая, может быть, точку ^i = O) функция
Ф =A1'2+f (P-I)J1'2
является решением уравнения Лапласа
Аф — 0.
В рассматриваемой области
dSl[dS, 0, 0}, dS = \ sinooforfcp,
= + JL (?- 1) J~1/2sin6rf6dcpdY],
поэтому формальное применение теоремы Гаусса — Остроградского в форме (III. 44) приводит к равенству
о
Во всех точках и, кроме, может быть, центра, ja = /? = 0 (в этих точках функция Ф непрерывна вместе с производными до второго порядка включительно, и сравнение уравнений (III. 45) и (III. 43) допустимо), поэтому последнее равенство можно было бы интерпретировать в том смысле, что в центре находится отрицательная б-образная масса.
Но в центральной точке области v ни сама функция Ф, ни ее производные не только не непрерывны, но даже не определены (по крайней мере, в явном виде), не определен и результат действия оператора Лапласа, поэтому применение теоремы Гаусса — Остроградского в форме (III. 44) неправомочно. Но ее можно применить KDB форме
J Ф(,1 + 3/>)^, (ІП.46)
(S) (5(E)) (V)
где v(b)—область (S(e)—ее поверхность), принадлежащая v, включающая в себя центральную точку и сходящаяся к ней при е 0. Равенство (III. 46) имеет смысл при двух условиях: 1) предел интеграла существует; 2) значения функции Ф и ее производных, в том числе и результат действия оператора Лапласа, определены в центре.
Определение 12. Положим
ф (0) — Iim Ф, = lim ,
t1-O дх I0 t1-O дх1
д*Ф _ Jim д*Ф
дх1 дх> I0 ~~ t1I1O дх1дх* *
В ее точках
(III.45)
222* Значения функции Ф и ее первых и вторых частных производных в центре определены как пределы их значений при стремлении к центру произвольной точки из его окрестности.
Указанные пределы существуют (например, Iim Ф = +
\ TQ+о
\
Iim = Iim^- = 0, Iim-^ = -OO J и не зависят от пути, па
7,+0
дФ дФ ~ дФ
-^r = Iim7r- = O, Iim
которому произвольная точка из окрестности центра стремится к нему. Поэтому определение 12 не лишено смысла.
Следствие 19. Действие оператора Лапласа на функцию Ф в точке сингулярности определено значениями Ф и ее первых и вторых частных производных в центре. Равенство
АФ = О (111.47)
Io
имеет место как предельное при стремлении к центру произвольной точки из его окрестности.
Таким образом, функция Ф удовлетворяет теперь уравнению Лапласа в D3, включая и мировую линию центра, поэтому из сопоставления уравнения (III. 45) вместе с его предельным выражением (III. 47) с одним (III. 43) из уравнений Эйнштейна находим,что JJi=P = O в D3, включая и мировую линию центра.
К этому же результату приводит применение теоремы Гаусса— Остроградского в форме (III. 46). Но прежде необходимо доказать лемму.
Лемма 24. Пусть v (є) — произвольная область, содержащая сингулярную точку и сходящаяся к ней при є-* О, а
V — область у т], ^ Tj0 в D3. Предел интеграла
Iim Г ^dS1
е+о J дх1 (5(0)
существует и равен — 2ira(? — 1) Л1/2 независимо от пути, по которому V (є) сходится к сингулярной точке.
Доказательство. В области v—v(є) функция Ф непрерывна вместе с первыми и вторыми производными и удовлетворяет уравнению Лапласа (III. 45).
Применим теорему Гаусса — Остроградского в форме (111.44) к V—V(є). Имеем
(s) (S(E)) (v-v(e))
Поэтому
(5(0)
223* Устремляя е О и имея в виду определение 12, получаем
Iim (J) ~ dSl = — 2ъа (3 — 1) Л
о J дх1
независимо от пути стремления и(е) к нулю. Лемма доказана.
Оба условия применимости равенства (III. 46) выполняются согласно определению 12 и лемме 24. Подставляя в (III. 46) найденный предел и вычисляя поверхностный интеграл, приходим к равенству
j (* + 3/1) Tfflhj = О,
и
из которого также следует, что ji=p=0 в D3, включая и мировую линию центра, в полном соответствии с теоремой 48.
Если функция Ф удовлетворяет в D3 не уравнению Лапласа (III. 45), а уравнению с б-образной правой частью
Аф =-і-ф/и8(г), т = const, (III.48)
то предел интеграла, фигурирующий в (III. 46), тоже существует, .но равен нулю. Для доказательства этого рассмотрим неограниченную последовательность вложенных друг в друга областей з • •3 • • •), сходящуюся при it -*¦ ос к сингулярной точке, и непрерывные в них функции Iin такие, что
