Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Приведем доказательство для случая холодного тела. Если абсолютная температура равна нулю, то внутренние границы вещества и источника совпадают (теорема 49), поэтому на свободной внутренней границе вещества радиальная координата равна нулю. Введем лагранжев параметр
г
а (г) = 4тг ^nrfdr1 (ИІ.55)
о
равный числу частиц, находящихся под сферой г, так что
a (0)=0, a (R) =N.
Разрешив (111.55) относительно г, получим ее значения в функции параметра а, причем
г (0) = 0, г (N) = R9
и зависимость плотности числа частиц от а
а (а)--
dr
Wsr
Последнюю формулу можно переписать, если воспользоваться (III. 34 а), (III. 22) и (III. 51):
п(а) =-, (111.56)
ачз
W5J-
где
^xJ' (III.57)
о
Изменение распределения плотности числа частиц, в согласии с (III. 55), означает вариацию
а (г) = а(г) + Ьау Ba(O) - 0
лагранжева параметра. Поэтому
7(a) — r(a) -f 8г, V(O) = 0, Zr(N) 0.
231* И поскольку функция г\(г) однозначно определяется как функция г, а следовательно, и параметра а при заданных Tj0 и е и распределении п(г), то с вариацией п(г) изменяется и функция rj:
= + BT2(O)-O.
Равенство нулю вариации Tj(V) в нуле вытекает из условий теоремы.
Из (III. 57) следует
8^- = — da da
Подставляя (III. 56) в (III. 2 в), получаем
dn
Варьируя же его, находим Ьп — —
В
5
+
^da
^Lb L '
5 - еЪ) Ц - -f «
Используя последние два выражения, можно теперь записать уравнение для
§+8
где
T(O) = X
dor.
^-p-f-di
(III.58)
(111.59)
8 nnrfB
Так как ?(0) равно нулю независимо от функции распределения плотности числа частиц, то
«U =
Уравнение (III. 58) при этом граничном условии имеет единственное решение, которое можно представить равенством
Bg = e~d j T (a) edday
где
d(a)
а
• JL Г+ P
8 71 J nr?
da, D = d(N).
232* Сравнивая (III. 57) с (III. 54), находим, что
и так как е и ^0 заданы по условиям теоремы, то
Ъ = Що-N-
Следовательно,
N
За = e~D J T (a)edda. (111.60)
о
При подстановке в последнее равенство Т(а) из (III.59) появляется интеграл
О
который можно преобразовать к выражению
«-о !^^?.+ 2^ +
О
+ 8
Подставляя T (а) в (111.60) и используя это преобразование, получаем окончательную формулу для вариации а (а следовательно, и массы) мгновенно-статической конфигурации —
= _ хр (/?) y2 + хе'd^
N(
dp
di\
І Iх H- P S — e-fjо 4 *pri3
2 1,2 і
I - — a-erjo)
7^ brida"
Из нее сразу же следует доказательство теоремы.
Определение 14. Конфигурация изолированного тела называется равновесной, если она удовлетворяет трем уравнениям (III. 4) и (III. 5) Эйнштейна вместе с условиями (III. 7), (III. 9)^ (III. 10) и (III. 12 а) на свободных границах.
Следствие 20. Масса равновесной конфигурации с заданными уравнением состояния, полным числом частиц и значениями постоянных TJ0 и е имеет стациойарное значение в классе сферических конфигураций.
233* § 35. устойчивые равновесные конфигурации изолированного тела
Для равновесных конфигураций справедлива следующая теорема.
Теорема 58. Для заданного уравнения состояния вещества и любых заданных неотрицательных значений rjo и е на свободной внутренней границе, или заданного положительного значения плотности массы ро в центре (когда е = 0, Tjo=O) существует одна и только одна равновесная конфигурация {а, N9 ?, ц (г), р(г)9 n(r). МО, (г)} тела. Все функции и постоянные конфигурации являются непрерывными функциями также и параметров Tio и еч или р0.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 53. Необходимо только иметь в виду, что к уравнению (UlAa)1 определяющему функцию т](г), теперь присоединяется еще уравнение (II1-5), в правую часть которого подставляется Krt алгебраически разрешенная из уравнения (III. 4 б). Присоединенное уравнение определяет распределение давления и связанные с ним заданным уравнением состояния распределения плотностей массы и числа частиц. Если заданное значение е больше нуля, то на внутренней границе г = 0 источника давление, согласно условию (III.9), равно нулю, поэтому уравнения (III. 4 а) и (III. 5) имеют единственное решение т](г) и р(г), удовлетворяющее данным Коши
Ч (0) = Ч0. dir\r^ = У~е * P (0) =
Если же заданное значение е равно нулю, то и т]о = 0, а свободная внутренняя граница отсутствует. Заданное значение \іо в центре определяет, согласно заданному уравнению состояния, значение давления ро в центре. Тогда уравнения (III. 4 а) и (III. 5) имеют единственное решение, удовлетворяющее данным Коши
Ч(°>=°> ^0=1' PW=Po-
Координата R свободной внешней границы источника может быть получена приравниванием нулю найденной функции р(г), чем одновременно удовлетворяется граничное условие (III. 7).
Решения обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно таковы уравнения (ІП.4) и (III.5), являются непрерывными функциями данных Коши (Смирнов, 1965), поэтому все постоянные и функции равновесной конфигурации можно представить следующим образом:
