Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть ха (о) — координаты текущей точки временноподобной мировой линии частицы. Подставляя (1.134) в квадрат интервала (1.127) вдоль мировой линии и имея в виду скорость света
в направлении скорости v частицы, находим, что
—ds2 = do2 = dt2 [vc — V) (vc + vy (1.135)
Временноподобные геодезические являются, с одной стороны, мировыми линиями свободной частицы (следствие 3), с другой — экстремалями функционала (Эйзенхарт, 1948)
(2)
const j do, (1)
поэтому действие S свободной частицы можно записать следующим образом:
и
S= IjLdt9
L = -т j/(vc — V) (vc + vy
Функции Лагранжа свободной частицы возвращена каноническая форма ее выражения.
117 § 15. ВРАЩАЮЩАЯСЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА
Примером несинхронной системы отсчета может быть равномерно вращающаяся система в мире Минковского. Она представляет особый интерес, так как реальная система отсчета, в которой суждено находиться земному наблюдателю, в первом приближении является именно такой.
Квадратичная форма мира Минковского в равномерно вращающейся системе отсчета имеет вид (1.92). Перепишем ее, опустив для удобства штрихи у г, ф, z и заменив V обычным обозначением х°:
ds2 = - (1 - ш2г3) (dx0)2 + 2u>r*rf<?dx° + dr2 + r2d<?2 + dz2 (1.136) Имеем, следовательно,
?оо=-0 - w^2). ?o2 = w2, gu=gz3= l,
9 1 <*>~r
Xt 2 =
(I —0)2Г2)
3/2 1
(1.137)
остальные компоненты равны нулю.
Согласно теореме 13, абсолютное ускорение каждого элемента этой системы отсчета направлено к оси вращения и имеет значение со2г/(1—со2г2).
Уравнения (1.123) после подстановки в них (1.137) имеют единственное решение, удовлетворяющее к тому же условиям постоянства и симметрии, (1.117) и алгебраическому уравнению (1.133):
a, = e, = 0f а2 = • <L138a>
у 1 - <а*г2
или
a = ["rI - (1.1386)
У I — u>V» 7
Произведя необходимые вычисления, получим
I -х',), (1-139)
" = с-140»
Au=Aj3 = I1 А,2= г2, A12 = A13 - A23 = 0, (I.14I) __1_
^ = (I-WV)"2 ^ — cor cos а -f- у і — Qi2 г2 sin2 aj; (ІЛ42)
здесь P0 (хг0, <р0, Z0J — опорное событие, а — угол между направлением распространения света и метрическим вектором.
118
е9{Р» Теорема 24. В мире Минковского события, одновременные в равномерно вращающейся системе отсчета, одновременны и в инерциальной системе отсчета, относительно которой ось вращающейся системы неподвижна; геометрия пространства евклидова; скорость света анизотропна, имеет наименьшее значение в направлении вращения и наибольшее — в противоположном.
Бытующие в литературе представления противоречат теореме 24. В частности, длина пространственной кривой определяется формулой (Эддингтон, 1934; Мёллер, 1975; Ландау, Лифшиц, 1973; Зельдович, Новиков, 1967; Тоннела 1962 и др., см., например, ссылки у Тоннела)
^-^ + ¦Г^г + ^. (1Л43>
следующей из (1.107) после подстановки в нее (1.137). Пространство с такой квадратичной формой действительно неевклидово, в чем обычно предлагается убедиться простым вычислением отношения длины окружности с центром на оси вращения к ее радиусу. Но это пространство не является подпространством мира Минковского. Если предположить, что пространство (1.143) вложено в мир Минковского, то коэффициенты второй квадратичной формы его должны удовлетворять уравнениям Гаусса и Кода-ции ?1.26а, б) с нулями з левой части. Можно видеть, однако, что эти уравнения при подстановке в их правые части коэффициентов первой квадратичной формы (1.143) не имеют решения в действительной области значений второй квадратичной формы. Полученное противоречие означает, что в мире Минковского не существует гиперповерхности с метрикой (1.143). Этот же вывод, впрочем, следует и из отсутствия интегрального многообразия нужной размерности уравнения
d Mр _ 0
которое получается из (1.106) подстановкой в него (1.137). Именно это уравнение превращает пространство (1.143) в подпространство мира Минковского (1.136). Отсутствие трехмерного интегрального многообразия этого уравнения связано с отличием
от нуля вектора х» т. е. несинхронностью вращающейся системы отсчета.
Таким образом, предлагаемые обычно исследования геодезических линий в пространстве (1.143) как траекторий движения материальной точки на вращающемся диске или расчеты отношения длины окружности к радиусу остаются полезными математическими упражнениями, но не имеют отношения к равномерно вращающейся системе отсчета в мире Минковского*.
* Результаты вычисления отношения длины окружности к радиусу в пространстве (1.143) совпадают с выводом, к которому пришел Эйнштейн (1921), анализируя процесс измерения на вращающемся диске. Он учитывает лоренцево сокращение длины, но игнорирует влияние ускорения на эталоны, считая его несущественным Это предположение, достаточно произвольное само по себе, следует теперь признать неоправданным.
119 В эффекте анизотропности скорости света состоит простое объяснение опыта Саньяка с точки зрения наблюдателя, покоящегося на вращающемся теле. Для инерциального наблюдателя объяснение эффекта Саньяка заключается, как известно, в различии длины путей, проходимых лучами в противоположных направлениях, из-за движения точки, в которой лучи расщепляются, а затем интерферируют. Для покоящегося же на вращающемся теле наблюдателя объяснение заключается в различии скорости света в противоположных направлениях. Разность времени прохождения лучами одного и того же замкнутого контура в противоположных направлениях определяется криволинейным интегралом
