Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
который в первом приближении по (огС 1 равен ±4coS(S — площадь проекции фигуры, описанной лучами, на плоскость z=const). Эта разность и соответствующая ей разность оптического хода лучей обусловливают интерференционную картину в опыте Саньяка.
Необходимо подчеркнуть всю важность объяснения опыта Саньяка именно с позиции находящегося на вращающемся теле наблюдателя, так как этот опыт весьма прозрачно свидетельствует в пользу зависимости локальной скорости света от направления. Пусть из точки положения этого наблюдателя исходят два луча, обегают в противоположных направлениях замкнутый контур длины I и снова сходятся в начальной точке. Наблюдатель измеряет по своим часам время пробегания контура лучами, иначе говоря, ставит опыт Саньяка, и обнаруживает, что лучи обходят контур за различное время: Ґ = /+2wS (в направлении вращения) и t~ = l—2(oS. Он вправе заключить, что им проведено пря-
мое измерение средних скоростей света Vcp = I--J- и Vcp «
= IH—р на контуре. И поскольку метрики мира и пространства
постоянны и среда отсутствует, то каждый малый элемент контура лучи проходят в одинаковых условиях, если не принимать во внимание направление прохождения. Поэтому из различия измеренных средних скоростей света на контуре с необходимостью следует вывод о различии скоростей света в каждом элементе контура в зависимости от направления. Анизотропность скорости света для вращающегося наблюдателя является экспериментальным фактом.
§ 16. ковариантная формулировка одновременности
Определению одновременности можно придать форму, кова-риантную относительно общей группы преобразований (1.47) координат. Изложение проблемы синхронизации часов в форме
120 трехмерных наблюдаемых отвечает требованию большей прозрачности физического смысла, однако явная общековариантная: форма уравнений имеет свои достоинства (сводящиеся, как правило, к математической простоте и эвристичности).
Из формулы (1.65) видно, что компоненты тензора вращения (1.49) представляются набором инвариантов общей группы преобразований. Это возможно вследствие совпадения их в собственной системе отсчета с компонентами 4-тензора:
Действительно, из определения следует, что тензор Xa^ ортогонален и :
а 4-векторы скорости и абсолютного ускорения в собственной системе отсчета выражаются через метрику мира равенствами
(1.48) и (1.53), поэтому ^0e = O, a Xik совпадают с правой частью
(1.49). Введем 4-вектор ортогональный 4-скорости элемента системы отсчета. В собственной системе отсчета его временная компонента равна нулю. Отождествим пространственные компоненты 4-вектора Ojlс метрическим вектором at в собственной системе отсчета. Тогда равенства (1.116), (1.122) — (1.126) перепишутся в виде
*«?= T К..P + u*w? ~~ hw*) •
(1.144)
XttV = о,
^(P) = ^b(Pi) +-(Рг)] +
, (1.116)
V (?аЗ+"а djfi
dt =е? [а^—и^ dx* ,
V — av, ti + aV % — aV ®v + [(% - % ) K a ~
(1.122) (1.126)
(1.123)
(1.124)
(Po)
И, наконец, если определить 4-тензор Л^v равенством h =g А- и и — а а ,
IXV Ojxv I wrJXV v jx v »
JX V •
(1.145)
(1.125)
122 то его пространственные компоненты в собственной системе отсчета совпадут с правой частью (1.121), а компоненты A0a будут равны нулю. Формула (1.120) тогда примет вид
dl2 = h^dx* dx* . (1.120)
Следует иметь в виду, что матрица (Afjtv) особенная, так как ее ранг равен трем, и обратная ей матрица не существует. Поэтому !необходимо отличать величины, определенные равенствами
Л" = .
ют величин, определенных в (1.129). Это же относится к контрава-риантным компонентам 4-вектора aВ частности (см. формулы (1.130) и (1.131)),
a? „ a3
И
la a1
g a*
1 + О? •
Наряду с 4-тензором вращения x«? можно ввести и 4-вектор вращения
X = -т > (1-146)
пространственные компоненты которого в собственной системе отсчета совпадают с компонентами вектора вращения.
Ковариантная дивергенция тензора вращения всегда отлична от нуля и обращается в нуль только вместе с самим тензором вращения. Определим вектор ba :
= + (1.147а)
тде
2 _ I a?
X. — ~2~ У- ^Ca?
Он ортогонален 4-скорости элемента системы отсчета и может быть представлен в виде суммы двух других слагаемых:
= + K J. (1.1476)
В собственной системе отсчета пространственные компоненты первого слагаемого совпадают с компонентами векторного произведения векторов абсолютного ускорения и вращения элемента системы отсчета, а второго слагаемого — с компонентом рото-
122 pa вектора вращения на ортогональной к 4-скорости гиперповерхности.
В каждой точке системы отсчета 4-тензор вращения порождает тройку единичных ортогональных друг другу и к 4-вектору скорости пространственноподобных 4-векторов:
/=Y' (1Л48а)
Ja b ґ_Ьа
д = . / (1.1486)
У ьх bx—(bxjxy
Г = е^и^я?. j\ , (1.148b)
образующих вместе с 4-вектором it тетраду.
Выразим, согласно (1.65), компоненты тензора вращения через векторы этой тетрады. Тогда получим
• V Sf л
1"ТГ = I* ~ъх =
IbL-I bJL-O
Jft 5т '« 5т ~~~ '
