Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Арифов Л.Я. -> "Общая теория относительности и тяготения" -> 51

Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.

Арифов Л.Я. Общая теория относительности и тяготения — СССР: Фан, 1983. — 304 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositel1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 115 >> Следующая


исходным и имея в виду, что

дх'»

дх*

, д Xfl

= 7?,

а)

можно за-

писать

= (PlJkl + -„-л - < +

+ ы, - «w) (ik) г+ ^ ^ r-n? -

132* - <' <я)- e^ Я + [if--E (т)14д - ^ ] x

X ^+e^^^-e^^-e^-nT). (1171)

<v= 4- +V* - («: )2) +K* - %u) C <v +<') +

+ ^ + « (т-)1<4 - -T h* [P + 3V*' - K) - 2A"' -

-WJ

(1-172)

Подставляя (1.172), (1.160) и (1.1616) в (1.162), получаем

K-W ія> —К «V"'- К D+х7- (U73)

[р.. + 2«>. ш" - <0, V - ^ е" -f ^4-) -

- 4- +-V"1- (< )2+2^+V)]}

+- (7;,+^ +V ^+е')=0• (1Л74)

Если теперь умножить первое уравнение (1.165) на и вычесть второе, умноженное на -i- ^a, то получим (1.173), и наоборот, из (1.173) можно получить уравнения (1.165) умножением на т)^

и е* соответственно. Аналогично устанавливается эквивалентность уравнений (1.166) и <1.174), что и доказывает теорему.

Уравнения (1.165) и (1.166) необходимо дополнить формулой, связывающей коэффициенты первой и второй квадратичных форм гиперповерхностей.

Лемма 16. Коэффициенты второй квадратичной формы про-странственноподобной гиперповерхности выражаются через производные коэффициентов первой квадратичной формы вдоль нормали к гиперповерхности следующим образом:

^T Є = ^ik + (</); V^A)+ vV(/)) + ( + <*); /*)(,)« ) eV .

(1.175)

Общую формулу, определяющую вторую квадратичную форму (Эйзенхарт, 1948), можно привести к виду

= V»"*)*;«. (1Л76>

133

если учесть специальные свойства 4-векторов т\а{{). Тогда доказательство леммы состоит в дифференцировании равенства (1.167) и использовании (1.176). Лемма 2 является частным случаем последней леммы. В правой части (1.175) второй и третий члены не содержат производных метрики мира вдоль нормали к гиперповерхности, в чем легко убедиться, расписав ковариантные производные, но содержат только производные gи на гиперповерхности и TJ^ вдоль нормали к гиперповерхности.

Таким образом, вторая из задач, на которые распадается задача Коши, сводится к интегрированию системы 12 уравнений (1.166) и (1.175) первого порядка, разрешенных относительно производных вдоль нормали к гиперповерхностям, или 6 уравнений второго порядка, получающихся из (1.166) подстановкой в них (1.175), также разрешенных относительно вторых производных вдоль нормали. Для обеспечения единственности решения этих уравнений необходимо иметь 12 функций (данные Коши) на заданной начальной гиперповерхности семейства. Ими могут

быть либо hlk и cd/a, либо hik и еа . Согласно теореме 26,

данные Коши должны удовлетворять уравнениям (1.165) на начальной гиперповерхности. Но этих данных недостаточно не только для обеспечения единственности, но даже для конкретного интегрирования уравнений (1.166) и (1.175). Уравнения содержат, помимо искомых функций AtTt и COtft . еще и неизвестные функции ^0e. Попытка использовать уравнения (1.165) для определения ^0a-тогда данные Коши hik и ^ik оказались бы свободными, не связанными никакими соотношениями на начальной гиперповерхности — не может быть успешной именно из-за теоремы 26: уравнения (1.165) могут связать частные производные

только на начальной гиперповерхности и не связывают их вне ее. Поэтому метод „тонкого сэндвича" (Ваіегіеіп, Sharp, Wheeler, 1962), разработанный для получения начальных значений g0а при произвольных hlk на двух близких „начальных" гиперпо-

dhIk а

верхностях, что эквивалентно произвольным hlk и е на одной начальной гиперповерхности, также не приводит к желаемому результату.

В этом состоит глубокое различие уравнений Эйнштейна и Максвелла—Лоренца. В элетродинамике ни уравнения (1.12), связывающие данные Коши, ни (1.11), определяющие искомые функции вне начальной гиперповерхности, не содержат дополнительных неизвестных функций, поэтому данные Коши, удов-

функции g / при условии, что данными

134* летворяющие на начальной гиперповерхности двум уравнениям связи (1.12), определяют единственные шесть искомых функций Pivt удовлетворяющие такому же числу уравнений (1.11) в области интегрирования.

Обычно считается, что функции ^0a можно приравнять наперед заданным, и тогда уравнения (1.166) и (1.175) не будут содержать неизвестные функции, кроме искомых, либо наложить на них какие-либо дополнительные нековариантные алгебраические или дифференциальные связи — координатные условия. Общее рассуждение, обосновывающее не только допустимость, но и необходимость четырех дополнительных нековариантных условий для решения уравнений Эйнштейна, восходит к Гильберту и состоит в том, что искомое решение должно определяться с точностью до общей группы преобразований координат (1.47). Если предположить, что искомое решение найдено, то, воспользовавшись четырьмя произвольными функциями общей группы (1.47), можно привести к наперед заданным функциям столько же компонентов решения, вследствие чего, согласно этому рассуждению, останется только шесть искомых функций, подлежащих определению. И вообще, вследствие общей ковариантности уравнений и допустимости общей группы преобразований координат число уравнений должно быть меньше числа искомых функций. В соответствии с этим в теории относительности предложены и используются самые разнообразные координатные условия, а некоторые координатные системы (гармонические) даже объявляются привилегированными, реализующими особые координатные условия, имеющие некий глубокий физический смысл.
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed