Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
x°-^x'°=t(x0, Xі). Обратное ему преобразование запишем в виде
- X0 = JC0 (х'°, Xі) = X0 (/, Xі).
В силу инвариантности обеих частей равенства (1.126) относительно группы (1.45) можно переписать его в координатах
O'0, '
dt = ё*' (d*'° + + Jfix1 ] -
Но из преобразования координаты X0 непосредственно следует
dt = dx'°-
Сравнивая последние равенства, находим
t
р-?' _ л Г "7" п — Soi е -V -goo' aI
V—g'oo или
¦ дх0
е~9 = V^goo JT,
_ _goi__i/ZI—
a'~v=gZ V gw dx' Uonst
Разрешая их втносительно производных, получаем систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка для искомой X0 (t, Xі)
дхо _ дх* So і аі
дх1 goo V -gm '
Решение этой системы существует, так как существует обратное преобразование х'° -*'x°(t, Xі), поэтому условия совместности уравнений системы выполняются тождественно. Одна группа условий совместности
' [goo ^ V-goo J * У/00 V-Soo ) выполняется благодаря уравнениям (1.123), а вторая
114 сводится к уравнению
которое интегрируется равенством (1.124). Лемма доказана.
Имея в виду (1.126) и (1.120), интервал ds теперь запишем в каноническом виде
ds2 = -e~24t2 + 2e-?atdxldt + dl2. (1.127)
В соответствии с этим скалярное ф и векторное а поля естественно назвать метрическими.
Если в заданной системе отсчета известны метрический тензор мира и метрическое векторное поле в функции координат х° и Xі, то, согласно лемме 12 и следствию 9, можно построить однопараметрическое семейство гиперповерхностей одновременных событий, представляющих образ физического пространства в каждый данный момент времени, синхронизировать часы во всем пространстве и отыскать метрическое скалярное поле. И наоборот, часы синхронизированы, если заданные в функции координат t и Xі метрические скалярное и векторное поля и метрический тензор пространства связаны с метрическим тензором мира, заданным в этих же координатах, алгебраическими равенствами
goo {*. х") = Soi ('. х") = Sln (*, **) = Ain- (1.128)
Поэтому имеет место следующая теорема.
Теорема 23. Для полного теоретического описания картины мира в данной системе отсчета необходимо знание, помимо метрики мира, метрического векторного поля в функции координат Xа .
Так как метрика пространства выражается через метрический тензор мира и ковариантные компоненты метрического векторного поля равенством (1.121), то контравариантные компоненты метрического тензора пространства и метрического вектора определяются соответственно
hlk = glk+ *Wf(l - SmjWj)'1, (1.129)
al=glkak(\-gmjaji^\ (1.130)
Поэтому для модуля метрического вектора имеем
а=л/ glkZa" -• (1-131)
V 1 S ат aJ Используя эти равенства и (1.51), находим, что
Ї = « + їг = р — a iqTjjj. (1.132)
Векторы р и я, определяющие абсолютное ускорение системы отсчета (теорема 13), совпадают, если система отсчета синхронная или метрический вектор нормален к ним.
115 Метрическое векторное поле отлично от нуля только в несинхронных системах отсчета, источником его является аксиальный
вектор X, поэтому естественно предположить, что метрический вектор удовлетворяет условию
UxJ=Of (1.133а)
или
(1.1336)
метрический вектор, по этому предположению, ортогонален оси вращения.
§ 14. АНИЗОТРОПНОСТЬ СКОРОСТИ СВЕТА
Из канонического выражения (1.127) квадратичной формы мира следует формула для модуля скорости света в направлении, составляющем с метрическим вектором угол а:
ve = (-a cos а + У1 + a2 cos2 а). (1.134)
Скорость света, таким образом, зависит в данной точке от направления распространения, имеет наименьшее значение в направлении метрического вектора и наибольшее — в противоположном. Во всех направлениях, образующих круглую коническую поверхность с вершиной в данной точке и осью симметрии вдоль метрического вектора, скорость света одинакова. Произведение модулей скорости света в любых двух направлениях, принадлежащих разным взаимно дополняющим коническим поверхностям, не зависит от направления:
VvC W vc (ic-а) = -
В частности, произведение значений скорости в двух противоположных направлениях постоянно в данной точке, и если обозначить через vc модуль вектора (-VcJ9 то
e2*VVc = \
В случае локальной скорости света, когда точка отнесения скорости света совпадает с опорной и <р=0 в соответствии с (1.134), имеем
Прямые вычисления показывают, что правые части формул (1.104) сводятся к выражению в скобках (1.134), как это и должно быть для локальной скорости света.
116 Величина или степень анизотропности скорости света равна модулю метрического вектора, т. е.
^(тач) _ ^(min)
—с—— € = а.
2 j/" ^(тах) vcnu„>
Поверхностью анизотропии скорости света в данной точке М, определяемой как совокупность точек, расстояние которых от M равно модулю локальной скорости света в направлении этих точек, является сфера радиуса V\ + а2 с центром, смещенным от M
на вектор — а.
В синхронной и только синхронной системе отсчета, когда
метрический вектор вслед за % обращается в нуль, скорость света не зависит от направления, в несинхронной же системе она анизотропна. Это характернейшее свойство распространения света трудно обнаружить в прямом физическом эксперименте, и еще менее вероятна материализация в том или ином варианте мысленного опыта, предложенного в начале § 13. Но оно проявляется в различных физических процессах. В § 24 обсуждается один из возможных способов измерения метрического векторного поля и, следовательно, нахождения поверхности анизотропии скорости света.
