Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Экспериментальная картина мира, следовательно, содержит и такие элементы, которые не могут быть включены в теорию, бази-
vc(B-+A) =
(1.104)
102 рующуюся только на знании метрики мира. Задача нахождения последовательности событий отражения сигналов в рассмотренном опыте не может быть решена (не только из-за математической ее трудности в техническом отношении), до тех пор пока неизвестно уравнение твердого стержня, покоящегося в заданной системе отсчета, или двумерная область мира, образуемая мировыми линиями его частиц. Теорию необходимо дополнить либо способом синхронизации часов, либо уравнением твердого стержня*. Первое дополнение относится к общим свойствам мира в заданной системе отсчета и позволяет включить в картину мира такие наблюдаемые, как скорость света и др. Второе — более мощное, содержит, помимо этого, частную информацию о форме трехмерного образа конкретного твердого стержня. Ни то, ни
Рис. 6. P1 и P3—события на мировой линии 7, событие Pr принадлежит световым линиям P1, Pr и P', P3 (пунктирные прямые). Событие P2—середина интервала [P1, P3]—одновременно, по Эйнштейну, событию P'. Это верно, когда скорость света не зависит от направления. Если же она больше в направлении от 7 к P', то событие Р, одновременное с P', лежит в интервале (P1, P2), в противном случае—в интервале
(Л, Рз).
другое не априорно, а должно быть найдено из определенных экспериментальных данных. Проблема заключается именно в том, чтобы установить те дополнительные экспериментальные данные, которые наряду с экспериментальными значениями метрического тензора лежат в основе полного теоретического описания картины мира в заданной системе отсчета.
Пусть событиям Pi и P3 на мировой линии у каких-либо часов, покоящихся в заданной системе отсчета, соответствуют испускание и регистрация светового сигнала, отраженного (событие Pf) от зеркала, которое вместе с другими часами системы отсчета находится на небольшом удалении от первых (рис. 6). Каждому из этих событий отвечают моменты собственного времени T(Pi), Р2) и т(Px). События Pi, Pf и P3 причинно связаны между собой, поэтому они находятся в определенном временном отношении: событие P3 произошло позже Ptf a Pf — позже Pi. Из-за транзитивности отношений «раньше» и «позже» (если событие Pa произошло раньше Рь, а Рь — раньше Pc, то событие P0 произошло раньше Pc, и наоборот, если Pa — позже Рь, а Рь — позже Pc, то Pa произошло позже Pc) события на мировой линии у, проис-
* Для инерциальных систем отсчета теория относительности использует оба дополнения. Часы синхронизируются способом Эйнштейна (1905а), а уравнение твердого тела определяется двумерной областью мира, «заметаемой» отрезком прямой трехмерного евклидова пространства.
\
Л. Pf
IOS ходящие позже P3 и раньше Pb также находятся в определенном временном отношении с Pf9 а именно, Pf происходит позже всех событий, лежащих на у раньше Pb и раньше всех событий, лежащих на у позже P3, или, иначе, часть мировой линии у до события Pi вместе с Pi находится в абсолютном прошлом, а часть у после события P3 вместе с P3 — в абсолютном будущем P'.
Временное отношение Pf с событиями на у, лежащими между Pi и P3, пока еще остается неопределенным. Хотя все события в интервале (Pu P3) находятся в определенном временном отношении между собой, никакое суждение, например, событие Pr происходит раньше (или позже) того или иного события из интервала (Рь P3), не имеет достаточного основания в изображенном на рис.. 6 случае обмена одиночным сигналом и его эхом. Вместе с тем из приведенного выше анализа мысленного опыта следует, что событию P' соответствует вполне определенное одновременное событие из интервала (Pi, P3), поэтому Pr находится во вполне определенном объективном временном отношении и с событиями интервала (Рь P3). Недостающая для установления одновременного Pr события из интервала (Рь P3) информация заключена в постулируемом условии одновременности.
Одновременность событий, по Эйнштейну, основана на предположении о независимости локальной скорости света от направления распространения.
Определение Эйнштейна. Одновременным событию Pf является срединное событие Рг интервала (P1, P3). Часы синхронизированы, если моменты T(rPi), T(P3) и т(Pf) собственного времени удовлетворяют условию
*(P') = Z(P2)= ^ (Pi)+ ,(P3)]. (1.105)
Используя определение Эйнштейна, можно получить уравнение, связывающее координаты одновременных событий, и выразить пространственное расстояние между ними через их координаты (Ландау, Лифшиц, 1973).
Лемма 10. Если события P (X0, х1) и P2 (х° -f dx , Xі+ dx1) одновременны, то их координаты удовлетворяют уравнению
dx* + ^dx1= 0, (1.106)
а квадрат расстояния между ними определяется формулой
dl2 = hlkdxldxk, (1.107)
где
(1.108)
104 Доказательство. Положим P1 + dx°_, Xі + dxl) к P8^x0 + dx°+, Xі + dxlj. Поскольку события P1 н P , P и P3 связаны попарно световыми сигналами, вдоль которых ds2 = 0, то»
= _ *а dx> + / _ ^ rfjc* Y'2.
± ?оо - ^ goo )
Если теперь переписать условие (1.105) в виде
